Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
dQ = h^da =1 (?rad Т)п d^
где X— коэффициент теплопроводности, а производная берегся по направлению нормали к площадке da, будем иметь:
Q==! ^da = S (^radrMa-
О б
откуда по формуле Остроградского (66) гл. I:
Q = j* div (X grad Т) dx, (47)
•с
или, сравнивая с равенством (44), определяющим q,
pq = div (X grad Т). (48)
Коэффициент теплопроводности в газах зависит от температуры, так что в общем случае величину X за знак дифференциального оператора div выносить нельзя; об этом подробнее будет сказано в гл. VIII.
Заметим, что при малых разностях температур в потоке можно в первом приближении положить X=const; в этом случае будем иметь
pq = X div grad T = XV2 Т, (49)
A'i Д2 Л2
где V2 = V . V = -}- ^ -}- J^s — символ оператора Лапласа.
Приток (положительный или отрицательный) тепла может происходить также благодаря лучеиспусканию (например, в топках котлов, в металлургических печах, в атмосфере под влиянием солнечной радиации и др.) и по другим физическим (конденсация, парообразование и др.) и химическим (горение и др.) причинам.
Полученная система динамических — (22) и (30) — и энергетического (46) уравнений, как легко заключить по внешнему их виду, крайне сложна, кроме того, число входящих в систему уравнений на много меньше числа неизвестных, так что система является незамкнутой, неопределенной. Для доопределения системы и возможного ее Упрощения приходится делать ряд дополнительных допущений, приводящих К бодее или менее отвлеченным схемам движения ЖИДКОСТИ 104
ОСНОВНЫр УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
fl-Л. 11
или газа. Таковы, например, схемы идеальной, т. е. не обладающей внутренним трением (вязкостью) несжимаемой жидкости и идеального сжимаемого газа, вязкой ньютоновской и неньютоновских жидкостей и мн. др. Основные из этих схем будут рассмотрены в дальнейшем на протяжении настоящего курса.
Остановимся сначала на одном практически важном и интересном случае применения выведенных общих уравнений — на учении о равновесии жидкости и газов. В этом случае, как будет показано, составленных уравнений достаточно для любой жидкой или газообразной среды, удовлетворяющей лишь двум основным принципам, изложенным во введении: непрерывности и легкой подвижности.
§17. Общие уравнения равновесного состояния жидкости и газа. Равновесие воздуха в атмосфере. Приближенные барометрические формулы. Стандартная атмосфера
Согласно основному свойству жидкостей и газов — легкой подвижности, — при равновесии отсутствуют касательные силы сопротивления взаимному скольжению жидких объемов друг по отношению к другу по площадкам их соприкосновения, а действуют лишь нормальные к этим площадкам силы.
Таким образом, при равновесии жидкости или газа векторы напряжений, приложенные к трем координатным и одной наклонной к ним площадке (§ 14), будут равны:
Px = PxJ, PV = Pyyh Pr. = PzA Pn = PnnI (50)
а касательные компоненты напряжений равны нулю:
Рису ~ Рух Pye == Pzy Pm = Pwz ~ (р® )
Подставляя значения напряжений в основную систему равенств (10), найдем:
PvP-X fl-xPiВЖ> Ptfly НцР-уу' Ptflz ^zzj ftzPez> откуда сразу следует
Рях Pyy -= Pzz — Pn- (51)
Обще?е значение нормальных напряжений, приложенных в данной точке жидкости к площадке любого направления, назовем давлением в данной точке жидкости или газа и обозначим через „—р" в знак того, что вектор напряжения направлен противоположно орту нормали к площадке:
рп = —рп, (52)
что соответствует сжатию выделенного объема. Давление р — такой же физический скаляр, как плотность, температура и др. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ
105
Тензор напряженности P при равновесии среды имеет таблицу.
°>
0| = -/*. (53)
—р, 0, 0N /1' 0,
о, —р, O1 = - /» 0, 1,
0, 0, - -р) ' Vo, 0,
1,
Симмеїричньїй іензор g, компоненты которого отвечают условиям:
&ХХ = Ь'уу — ?гг = 1, &Ж1/ — i>yz — ~
называют единичным тензором или тензорной единицей. Последние равенства должны выполняться, очевидно, независимо от выбора системы координат, т. е. единичный тензор должен оставаться единичным при любом направлении взаимно перпендикулярных декартовых осей координат; это можно было бы показать и непосредственно на основании формул преобразования компонент тензора при изменении направления осей координат (см., например, ранее цитированный курс векторного и тензорного исчисления Н. Е. Кочина).
Формула (12) вместе с (52) и (53) дает очевидную систему равенств:
р„ = nP = — рп§ = рп, (54)
из которых, между прочим, видно, что
nS = n, (55)
так что умножение орта п на тензорную единицу приводит к тому же вектору, — общее свойство умножения любого вектора на тензорную единицу, в чем легко убедиться, проделав операцию умножения по ранее установленному в гл. I правилу (20).
Чтобы вывести уравнения равновесия среды, т. е. ее относительного покоя, рассмотрим уравнения движения, частным случаем которых при равенстве нулю всех скоростей должны являться уравнения равновесия.
Уравнение неразрывности (22) сведется при этом к первому условию равновесия
