Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Останавливаясь лишь на случае баротропного равновесия газа в потенциальном силовом поле, напишем уравнение равновесия в виде:
— р grad II = grad р. (69)
Введем в рассмотрение функцию давления
р
'(P)=J Р»
т- р®общие Уравнении равновесного состояния
109
градиент ее по (70) равен:
grad § ='- grad р = -i- grad р. (70')
При баротропносте равновесия газа функция давлений § играет роль потенциала или потенциальной энергии поля отнесенных к единице массы главных векторов поверхностных сил, сводящихся в случае равновесия к силам давления. Можно сказать также, что функция давлений представляет потенциальную энергию интенсивности объемного действия поля давлений.
Действительно, в полном соответствии с обычной связью между векторным силовым полем и его потенциальной энергией, имеем по (70'):
-Jgradp = -grad g".
Итак, при баротропном равновесии среды объемное действие среды на выделенное в ней „единичное тело" (единицу объема или массы) образует потенциальное поле с потенциалом, зависящим только от характера баротропности процесса.
Уравнение равновесия (69) может быть переписано в форме
grad П -f- grad W — 0,
откуда следует, что при равновесии среды во всех точках ее выполняется равенство
П-{- ^ = Const. (71)
В качестве иллюстрации рассмотрим приближенные уравнения равновесия атмосферы под действием силы тяжести. В этом случае, направляя ось г вертикально вверх и помещая начало координат на уровне моря, будем иметь (Z0 — некоторая высота над уровнем моря):
П =g(2—Z0).
Функция § для изотермического случая будет определяться на основании (66) так:
р р g> = ГJE- Pa = ?oin?.. (72)
J P (P) Po J P Po Po
Pu. Po
Условие приближенного равновесия атмосферы между пунктами Z1 и г2 по (71) можно написать в виде:
? (?-*!) +-InfJ = O. (73)
Где Pi, Pi и /?2, ра—значения давления и плотности на высотах Z1 и г2 над уровнем мори. Формула (73) представляет простейшую110 основные Уравнения движения и равновесия (гл. fl
барометрическую формулу, позволяющую приближенно определять высоту Z2 пункта над уровнем моря по измеренному барометром давлению в этом пункте, если известны Pi и Pj при Z = Z1.
Полагая Z1 => 0, P1 — ра, р, = р0, ^2 = г, р% = р, ра = р, можем придать формуле (73) простой вид:
-eJns
р = рае . (73')
Формулу (73) или (73') можно применять с большой точностью, если разбить весь интервал ее применения на малые промежуточные интервалы (г', У) и в начале каждого следующего интервала г = z" пользоваться новым значением отношения р"1р", исправленным на новую температуру Т" по формуле
„я
^r = RT,
и новым значением р", вычисленным по (73) из равенства
g(z"-z') + ? In^ = O.
Обычно поступают несколько проще. Обозначим разность двух близких высот г-, — Z1 через Az, разность соответствующих им давлений P1—/>2 через Ар; тогда равенство (73), согласно (66), примет вид:
Pi J
где под T будем понимать среднюю температуру воздуха в интервале (*„ Z1 + Az): ^
Отсюда найдем
T = ^ (T1 + 7у.
R \ PiJ
или, пользуясь разложением логарифма в ряд,
.А?. aP___RT Ap
S Pl g Pi-^&P g
Можно еще перейти от абсолютных температур к обычным по формуле
и получить приближенную формулу:
.2-?L=?t(l f«F). (74)
g Pi+Pz Х %4 1 Т\ ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНЙЙ 111
Замечая, что для сухого воздуха
R = 29,27 g M2/ceKbpad, приведем формулу (74) к такому окончательному виду:
Дz 16 OOO-piTpa (1 + аЪ м, (75)
Pi +Pt '
удобному для практических измерений.
При технических расчетах пользуются обычно так называемой стандартной атмосферой, согласно которой в нижних слоях атмосферы — в тропосфере (0 < г < 11 км) — температуру принимают падающей от значения 15° С вблизи уровня моря иа 6,5° С на каждый километр, а давление на уровне моря — равным 760 мм рт. ст. В стратосфере (г > 11 км) температура считается одинаковой и равной—56,5^.1
Формулы расчета для тропосферы получаются из следующей системы уравнений:
*L = -gdz, sT = RT, Т=Т0 — сг,
г г
где газовая постоянная R для сухого воздуха равна 29,27g M2llCeKsZpad,
T0 = 273°+ 15° = 288°, с = = 0,0065 град/м.
Интегрирование этой системы уравнений не составляет труда. Имеем:
BIdv = -Sdz У- =___
р "р 8 Z' р R(Tci-Cz)'
Z
lnPa- RcJT0 ^RclnV T0zJ-
О -J-Z
Отсюда следует (ра — атмосферное давление на уровне моря, принимаемое равным 760 мм рт. ст.)> что
JL^fl с
Pa \ Tq j
или, подставляя числа,
-JL = Л__?_f58
ра V 44300/ *
Для стратосферы начальная температура принимается равной 56,5° С и интегрирование проводится так же, как и для изотермического случая.
и 5аблиИьі международной атмосферы можно найти в специальных курсах
справочниках.110
Основныр уравнения движения и равновесия
fl-л. 11
Не составляет груда получение барометрической формулы и для адиабатического равновесия.
В этом случае, обозначая через ра и ра — давление и плотность на уровне моря (г = 0), по (68) и (70) легко найдем
1/й t Tc—1 Tc—1 \ й> __ k Ра ( и к _