Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
fl^+J^c-Jd + H.vv)^ = »,
«С T ~
0ткуда, в силу произвольности объема интегрирования, вновь получим уравнение (18). К тому же результату можно придти, разделив обе части последнего уравнения на объем т, содержащий внутри себя заданную точку, и переходя к пределу при стремлении объема к нулю И стягивании erg к данной точке. 92
ОСНОВНЫр УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
fl-Л. 11
В дальнейшем нам придется встречаться с двумя различными видами уравнений механики сплошной среды: 1) интегральным, выражающим связи между величинами в некоторых конечных объемах и на ограничивающих их поверхностях, и 2) дифференциальным, связывающим значения величин и их производных в данной точке. Примером уравнений в интегральной форме может служить уравнение сохранения массы (19) и в дифференциальной форме — (18).
Переход от интегрального вида уравнения к дифференциальному совершается одним из следующих двух приемов: делением обеих частей уравнения на величину объема с последующим стягиванием объема к выбранной точке пространства или сведением всех интегралов к одному объемному и приравниванием подинтегрального выражения нулю вследствие произвольности объема. Оба эти приема были только что применены при выводе уравнения (18).
Основной особенностью дифференциальной формы уравнений динамики жидкости и газа является то, что входящие в них величины представляют плотности распределения массы, объемных и поверхностных сил и т. п., а не сами величины, относящиеся к элементарному или конечному объему.
Обратный переход от дифференциальной формы к интегральной совершается умножением на элемент объема и интегрированием по конечному объему.
Интегральная форма имеет преимущество перед дифференциальной, если входящие в уравнение величины претерпевают внутри среды разрывы непрерывности. В этом случае дифференциальная форма уравнений не может быть использована во всем пространстве, заполненном жидкой средой, в го время как интегральная форма с успехом используется.
Заменяя в уравнении (18) индивидуальную производную по времени от плотности известным ее выражением через локальную и конвективную производные [§ 9, формула (41)], получим:
окончательно найдем уравнение неразрывности в эйлеровом представлении в наиболее употребительном виде:
jf V • gradp + p div V = О,
вспоминая затем формулу векторного анализа
div (pV) = V • grad р -f- р div V,
дР
(20)
^ + div(pV) = 0
(21)
или в декартовых координатах:
+ ^ (ре) + (р*) + Yz (Р®) = 0.
(22) ^ 15] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
93
В частном случае несжимаемой жидкости (р = const) уравнение неразрывности переходит в уравнение несжимаемости-.
div V =
ди . dv і ди>
дх
ду 1 dz
0.
(23)
Для вывода основного динамического уравнения движения жидкости или газа применим к объему t (рис. 26) теорему об изменении количеств движения системы материальных частиц. Заметим, что главный вектор количеств движения частиц объема К равен интегралу от произведений их элементарных масс dm на векторы скоростей частиц V:
PnrfO/
K=JpVd-:
Приравнивая индивидуальную производную главного вектора количеств движения главному вектору внешних массовых и поверхностных сил, получим:
rfK dt
d_ dt
j pV dx = J pF dx + pn do. (24)
Рис. 26.
Индивидуальная производная от главного вектора количеств движения равна
(25)
так как на основании закона сохранения массы (15) второй интеграл пропадает.
Чтобы преобразовать поверхностный интеграл, стоящий в правой части (24), в объемняй, спроектируем обе части интегральной формулы (70) предыдущей главы на ось х и положим в ней о равным попеременно ат, ау, а,,; тогда получим:
пха,л do
Г да.
х И"
I IisMy da с= j'
дау
Wtfl'
I UiJ-Iz da = J
да-dx
dz;
Умножая после этого обе части первого равенства на і, второго-На J, третьего — на к и складывая, будем иметь:
J^ado= J ^dx. 94
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. (1
Повторяя аналогичные выкладки с производными по у и г, получим окончательно следующую группу интегральных формул:
(26)
Пользуясь (9), перепишем поверхностный интеграл в уравнении (24) в виде:
J Ря da J ".тР.г da + J 'HlPn da + J n^z dc<
J пха (h = J da , >
<J T
J n^da=. J da , SPdt'
<J %
j n^a. do = I da , Tzdx-
. H 3 T
или, по (26), окончательно:
Jp--=/(?+?+?-
(27)
Подставляя в (24) значения входящих в него величин, согласно формулам (25) и (27), и перенося все члены в одну сторону, получим основное динамическое уравнение движения сплошной среды в интегральной форме:
Kr
«Р.
d\
Ht ~ дх ду
д dp у dPAdx^0 і: ду дг J '
(270
или, используя произвольность объема т и приравнивая подинтеграль-ную функцию нулю во всех точках области движения, будем иметь то же уравнение в дифференциальной форме:
tfV
P йГ
дРя; , , др.
ду
дг
(28)
Это векторное дифференциальное уравнение, или эквивалентная ему система трех дифференциальных уравнений в проекциях:
; ''Fn-
