Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
8 -Т^Т^Р Pa J'
после чего по (71) получим барометрическую формулу:
\РаJ k Pas
В рассмотренном одноразмерном случае (безграничная атмосфера, изменяющаяся вдоль оси г) тепловое условие равновесия в предположении стационарности температурного поля примет вид
что приводит к линейному распределению температуры, в частности, к постоянству ее по высоте. Это условие выполняется как при изотермическом равновесии, так и в случае „стандартной" атмосферы. При адиабатичности процесса условие теплового равновесия не выполняется.
Нетрудно построить барометрическую формулу изотермического равновесия и с учетом поля тяготения, если заметить, что в этом случае потенциал массовых сил может быть принят равным
где а—радиус Земли, ? — ускорение на уровне моря. По (71) будем иметь
El in S- + aW—J---{--Wo. (76)
Pu Po ' 51<г + 2о a + zj v 7
§ 18. Равновесие несжимаемой жидкости. Уравнение поверхности раздела. Равновесие вращающейся жидкости
Рассмотрим равновесие несжимаемой жидкости (р = const) в потенциальном поле объемных сил. Уравнение равновесия по (57) будет
— pgradll=gradp
или
р рС = const* (77)
Пусть две несмешивающиеся жидкости разной плотности P1 и р2 находятся во взаимном равновесии, причем вблизи поверхности раздела § І»]
РАВНОВЕСИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 113
этих жидкостей, несмотря на наличие скачка плотности, давление р и потенциал П непрерывны, т. е. принимают одни и те же значения независимо ot того, со стороны какой жидкости подойти к данной точке поверхности раздела. Производная от левой части равенства (77) по любому направлению s, лежащему в касательной плоскости к поверхности раздела, должна удовлетворять одновременно следующим двум равенствам:
iLju.n ?1-0 dP-X- n гіП — п
откуда вычитанием получим
(pi-p2)^- = O;
последнее равенство при принятом условии p1 ф р2 приводит к постоянству потенциала объемных сил П на поверхности раздела. По (77) при этом и давление р будет сохранять постоянное значение вдоль поверхности раздела. Отсюда вывод: при равновесии двух несмеши-вающихся несжимаемых жидкостей разной плотности в потенциальном поле объемных сил граница раздела жидкостей будет одновременно изопотенциальной поверхностью и изобарой.
Так, при равновесии жидкости в поле тяжести, если ось г направить по вертикали вниз, равенство (77) дает
P —' PSz = const
или, заменяя произведение рg на удельный вес
р — -(г=: const.
Обозначим давление над свободной поверхностью жидкости (обычно, атмосферное), через ра; тогда, помещая начало координат в точку на горизонтальной свободной поверхности, найдем
P =Pa+ P^ = Pa~h 'iz- (78)
Давление в данной точке на глубине z, за вычетом дополнительного давления столба воздуха на свободную поверхность, т. е. давление р' =р—ра> будем называть давлением жидкости. Тогда, для расчетов давления жидкости на тело можно, опуская штрих, пользоваться формулой
P==V, (78')
понимая под р превышение давления в жидкости над атмосферным давлением на свободной поверхности.
Поверхностью раздела—свободной поверхностью жидкости — служит горизонтальная плоскость г = const; на всей этой плоскости р = const.
8 Зак. 1841. л г. лойщшский. 114
основныр уравнения движения и равновесия
fl-л. 11
Предположим теперь, что жидкость вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг некоторой оси, сохраняющей в пространстве постоянное направление. Чтобы написать условие относительного равновесия вращающейся жидкости, как известно, следует к непосредственно приложенным силам с потенциалом II присоединить еще отнесенную к единице массы центробежную силу F(rl), равную
FW = O1Sril (79)
и имеющую потенциал
ПОО==-IcoV-5, (79')
где г* — вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси вращения к рассматриваемой точке жидкости и равный по величине этому расстоянию; этот вектор г-* не следует смешивать с вектор-
радиусом точки г относительно начала координат. Если ось г совпадает с осью вращения, то
Г* = V у^,
в то время как вектор-радиус г по величине равен
г — У X2 +У -{- Z1. Уравнение относительного равновесия вращающейся жидкости будет иметь по (77) вид
р рП _ 1 pa,2/-*5 = const. (80)
Уравнение свободной поверхности (р = const) будет
рП — ~ рев2/-*" = const. (81)
Так, например, свободная поверхность тяжелой жидкости, вращающейся (рис. 27) вокруг вертикальной оси Oz, направленной вверх, будет иметь уравнение
PgZ--і pixp (х2у2) = const,
или, обозначая через Z0 координату точки пересечения поверхности с осью OzIx = 0, у = 0),
Это — параболоид вращения с параметром gjtо2, зависящим от угловой скорости вращения жидкости; с возрастанием угловой скорости РАВНОВЕСИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
115
§ 18]
вращения параметр убывает и ветви параболы в меридиональном сечении параболоида сближаются.
Легко найти связь между высотой воды A0 в сосуде при отсутствии вращения и величинами Amax и Ajnin при вращении с угловой скоростью <в. Простое определение объемов дает (а — радиус цилиндрического сосуда)
