Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 16. Тепловые явления в жидкостях и газах. Закон сохранения энергии и уравнение баланса энергии
Уравнение непрерывности и уравнения движения в напряжениях представляют систему динамических уравнений, описывающих взаимную связь между изменениями плотности и скорости, с одной стороны, и приложенными к жидкости или газу поверхностными и массовыми силами — с другой.
Для решения вопросов движения жидкости или газа этих динамических уравнений оказывается недостаточно, так как рассматриваемые обычно движения тесно связаны с непрерывными взаимными превращениями механической энергии в тепловую. Так, например, УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ
101
хорошо известно, что газ при сжатии его поршнем в цилиндре разогревается, при расширении, наоборот, остывает. В первом случае механическая работа сжатия переходит в тепло, во втором — работа расширения происходит за счет тепла газа. Аналогичные, только гораздо менее интенсивные процессы происходят и в капельных жидкостях (вода, масло). Широко распространено явление заметного разогревания движущихся по трубам жидкости или газа за счет внутреннего трения. Снаряд, летящий с большой скоростью в воздушной атмосфере, сильно разогревается, значительно повышается при этом и температура воздуха вблизи поверхности снаряда.
Вот почему к уравнениям предыдущего параграфа необходимо присоединить еще уравнение баланса энергии в потоке.
Чтобы составить уравнение баланса энергии в движущихся жидкости или газе, вспомним общий закон сохранения энергии, который в применении к движущемуся индивидуальному объему можно формулировать так: изменение полной энергии объема жидкости или газа за бесконечно малый промежуток времени равно сумме элементарных работ внешних массовых и поверхностных сил, приложенных к выделенному объему и его поверхности, сложенной с элементарным количеством тепла, подведенным извне к объему за тот же промежуток времени.
В дальнейшем будем считать движущиеся жидкость или газ совершенными, т. е. будем предполагать, что внутреннее молекулярное движение в них сводится к свободному соударению абсолютно упругих шариков, не подверженных действию межмолекулярных сил и столь малых по величине, что можно пренебречь их вращением. В этом , предположении можно считать внутреннюю энергию равной произведению абсолютной температуры T на коэффициент теплоемкости при - постоянном объеме Cv — для сжимаемого газа или на коэффициент теплоемкости с — в случае несжимаемой жидкости. Уравнению баланса энергии жидкости или газа в индивидуально движущемся объеме т с поверхностью о мо&но придать следующую интегральную форму:
— J А = J pF • V гіт+ J pn - Vdc+JQ. (41)
- і
Слева в уравнении (41) стоит индивидуальная производная по времени от суммы внутренней и кинетической энергий объема, справа — сумма мощностей массовых Сил, приложенных к объему (первый инте-I рал), поверхностных сил (второй интеграл) и выраженное в механических единицах количество тепла, подводимое (отводимое) в единицу Ремени к индивидуальному объему извне за счет теплопроводности • и Лучеиспускания; множитель J в левой и правой частях обозначает ^ханический эквивалент тепла (J = 427 кг • м/кал), позволяющий
,,„„ Члены уравнения (41) выражать в одинаковых механических единицах мощности, 102 ОСНОВНЫр УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ fl-Л. 11
Следуя приемам предыдущего параграфа, выразим обе части уравнения (41) как объемные интегралы от соответствующих величин.
Левую часть уравнения (41), используя закон сохранения элементарной массы (15), преобразуем так:
4г J P (JcvT+ Ща, = Ij9JL (.кт+?) А +
X X
+ J т)! (р А> = J P 4i {Jc*T+т) <42)
t x
Поверхностный ингеграл в правой части (41) можно на основании формул (9) преобразовать к виду:
Jpя - V *fo = J Kpfe • V + - V + rt2ps • VJ da =
в о
= J (PV)w + пу (PV)sj + й, (PV)J da = J Il - (PV) da,
о о
или, воспользовавшись формулой Остроградского (66) гл. I,
J Рп . V da = J div (PV) dt. (43)
в т
Введем обозначение:
Q=Jp^d-, (44)
где под д условимся понимать секундный приток тепла к бесконечно малому объему в данной точке, отнесенный к массе этого объема.
Подставляя в уравнение (41) найденные выражения поверхностных интегралов через объемные и используя произвол в выборе объема t, получим уравнение баланса энергии в дифференциальной форме:
р =рF • V-j- div(PV)-j- Jpq. (45)
В декартовой сисгеме координат, если выписать явно значения индивидуальной производной и дивергенции, уравнение (45) примет вид:
p(w+ "а?+®^+®ж) JcJjT+V2+®3)] =
= р (и Fx + vFy -f ViFz) + (PscwU + pxyv -j- px,jw) -f + Jy (Pb >и + Руу° + Pvzw) + J- (fe" + PzyO + PzM (46) уравнениь баланса. энергии
103
Величина q секундного притока тепла, отнесенного к единице массы, может быть определена, если известен сам процесс притока ч епла.
Основным механизмом распространения тепла в жидкости или газе является теплопроводность. Замечая, что количество тепла dQ, проходящего в единицу времени через площадку da, равно по известной формуле Фурье
