Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
9 132 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И газа [гл. III
если это отношение вычислить, используя уравнение первого начала термодинамики совершенного газа = ~--удельный объем^
dq = Jcv dT-\- р dv,
по формуле
{S)P ^ Jc'" ~гр {(if)v
и применить уравнение Клапейрона
pv — RT,
согласно которому
fdv\
\дт)р—р •
Тогда будем иметь:
Jcp = K+P-~>
откуда и следует формула (17).
Пользуясь формулой (17), можно значительно упростить выражение закона сохранения энергии (16), если выразить отнесенную к единице массы внутреннюю энергию JcvT газа через так называемое теплосодержание (энтальпию) или, как еще иногда говорят, тепловую функцию I=JcpT по (17) так:
JcvT = JcpT-RT = JcpT~-f = (17')
После этого уравнение (16) может быть записано в виде
І JP(' + ^ = JPf • v^~ Jdiv(/>+
X XX
+ pjqdx'
T X
Второй и третий интегралы в правой части соединяются вместе и, в силу уравнения непрерывности (18) гл. II, оказываются в сумме равны*
m+4,(f)]" - Л-div * ¦-
T T
- J [- IliV (pV) + jj? + V • gtad P+р div v] A =. f dx.
\ §21]
закон сохранения энергии
133
Итак, будем иметь следующую интегральную форму закона сохранения энергии в движущемся идеальном и совершенном газе:
Tt Jp + Ч)dx=JPf • vdx+!т-dx+JP ¦J(* dx> (18)
•z % rZ г
из которой обычным приемом получим и дифференциальную форму того же закона
?(< + S)_p.V + fjH-*. (19)
Предположим теперь, что объемные силы отсутствуют и движение стационарно; кроме того, отвлечемся от притока тепла извне, т. е. будем считать движение газа адиабатическим. Тогда закон сохранения энергии приведется к равенствам:
(18') (19')
Из (190 сразу следует, что вдоль траектории или линии тока (для стационарного движения это одно и то же) будет выполняться равенство
і -j- -тр = const, (20)
выражающее известную іеорему Бернулли для сжимаемого газа (см. § 25): в адиабатическом, стационарном потоке идеального совершенного газа при отсутствии объемных сил сумма отнесенных к единице массы теплосодержания и кинетической энергии сохраняет постоянное значение вдоль траектории или лиши тока частицы.
Если в правую часть общего уравнения (19) подставить, согласно уравнению Эйлера,
„ rfV . 1 ,
ж+Tgradp'
то можно получить равенство
S+v-S-v-S + Ifc + v.*-,) + *
или, после сокращения слева и справа на член V • ^, следующее
не зависящее от характера, поля объемных сил выражение того же ¦икона сохранения энергии
di_ 1 dp , .Jn
4/,(1+?*-о, 134
динамика идеальной жидкости и газа
[гл. III
Если движение баротропно, то по предыдущему
LiL-Ж
P dt dt '
после чего уравнение баланса энергии приобретает вид
JL(I-S) Jq. (21)
Из равенства (21) вытекает, что в случае баротропного движения, а к такого типа движению сводится большинство разбираемых в настоящем курсе движений, приток тепла определяет изменение разности тепловой функции и функции давлений. При адиабатическом движении J = O и уравнение (21) приводні к соотношению
J = S1-J-Const, (22)
справедливому вдоль траектории данной частицы при любом силовом поле действующих на движущийся газ объемных сил. Докажем, что уравнение (22) представляет ни что иное как уравнение известной из курса термодинамики адиабаты
р = СФ (23)
с показателем /г, равным отношению теплоемкое гей CpIcv и постоянной С, определяемой по заданным значениям: р = р0, р — р0 — в неко-юрой точке адиабаты.
Действительно, переписывая (22) в виде
V
Jcn Jcn р Г dp
JcpT ^ -JL -R T = - L = J ^ + const (22')
и замечая, что 'но (17),
Pt
Jc
лр
R k— 1 '
будем иметь, дифференцируя (22') по давлению р:
к d /р\ k 1 k р dp 1
(?'
к — 1 dp \ р / к — 1 р к — 1 рг dp р ' откуда следует дифференциальное равенство
dp = dj_
P P
которое после интегрирования и приводит к (23).
Наряду с функциями состояния і и S введем в рассмотрение еще одну функцию состояния — отнесенную к единице массы газа энтропию S, определяемую известным дифференциальным соотношением
dS = J^, (24) §21]
закон сохранения энергии
135
где в общем случае, под бесконечно малой величиной dq будем понимать отнесенное к единице массы количество тепла, образовавшееся обратимым путем за время dt в элементарном объеме газа.
Если вдоль траектории движения частицы выполняется равенство dS = 0, т. е. энтропия сохраняет вдоль траектории свою величину, то такое движение называется изэнтропическим.
Как известно, возрастание энтропии в изолированной (адиабатической) системе показывает, что внутри этой системы происходят необратимые процессы преобразования механической энергии в тепло, связанные с „потерями" механической анергии.
Примером образования таких механических поіерь могут служиіь hoi ери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях и газах.
Следует четко разграничивать понятия адиабатического и изэнтро-пического движений среды. Процесс движения жидкости и газа может быть адиабатическим и вместе с тем не изэнтропическим, если при отсутствии теплопроводности и лучеиспускания, принимаемом в идеальных схемах, или, более обще, при отсутствии теплоотдачи в потоке почему-либо возникает необратимым образом тепло. Движение может быть, наоборот, неадиабатическим, но изэнтропическим, если тепловыделения, связанные с превращением механической энергии в тепло, компенсируются путем теплопроводности или лучеиспускания. Само собою разумеется, что реальные движения являются неадиабатическими и неизэнтропическими и могут рассматриваться в качестве адиабашческих или изэнтропических лишь в известном приближении,
