Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся к отдельным, простейшим баротропическим процессам: 1) несжимаемому движению, 2) изотермическому движению и 3) адиабатическому, а следовательно, но предыдущему, и изэнтропическому движению.
В случае движения несжимаемой жидкости (р = const) имеем по (9):
§ = = E-Jr const.
P P 1
Довольствуясь случаем наличия в качестве объемных сил только сил веса и направляя вертикальную ось г вверх, получим:
П = gz 4- const.
Тогда теорема Бернулли примет следующий простой вид (символ const обозначает сохранение величины вдоль линии тока или вихревой линии):
Е = ~ V2~gz = const, (56)
или, переходя от плотности р к удельному весу «( == Pg-;
f=tf=§-+-7 + * = const. (57)
Отдельные члены равенства (57) имеют размерность длины и
V2 „ р
называются соответственно: —скоростной, -у—пьезометрической
и z—нивелирной высотами. Сумма этих высот H называется гидравлической высотой.
Формула (57) приводит к классической формулировке теоремы Бернулли: при стационарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости гидравлическая высота, равная сумме скоростной, пьезометрической и нивелирной высот, сохраняет постоянное значение вдоль любой линии тока или вихревой линии.
Эта форма теоремы Бернулли имеет основное значение в гидравлике открытых русел (каналов, водосливов и др.).
Предположим, что силы веса в рассматриваемом случае движения имеют ничтожное влияние по сравнению с давлениями. Таково, например, движение газа по трубе, при котором вес газового столба,§25J
? 32] влияние интенсивности склчкл HA сжатие глзл
149
определяемого площадью сечения трубы и разностью высот частиц газа, пренебрежим сравнительно с перепадом давлений, приводящим газ в движение.
В этом случае потенциал сил веса может быть опущен и уравнение Бернулли приобретает более простой вид:
р V2
р -J-iTj- = Const. (58)
Первый член, представляющий давление, иногда называют пьезометрическим напором, второй—скоростным или динамическим напором, сумму их — полным напором.
В этом случае теорему Бернулли (58) формулируют так: при стационарном движении идеальной несжимаемой жидкости в отсутствии объемных сил полный напор, равный сумме скоростного и пьезометрического, сохраняет свою величину вдоль любой линии тока или вихревой линии.
При изотермическом движении сжимаемого газа ^T= const,
— =Constj, функция давлений § по (72) гл. II равна (индекс О P '
означает некоторую произвольную точку изотермы):
St = -In-.
Po Po
Пренебрегая в этом случае объемными силами, получим уравнение Бернулли в виде:
IJ_L?fiin?.==: const, (59)
^ Po Po
или
YljrPlmL^. (60)
2 Po Po 2- ^
Уравнение (58) несжимаемого (хотя, быть может, и изотермического) движения нельзя рассматривать как частный случай уравнений (59) или (60) изотермического движения сжимаемого газа, так как из предположений р = const и T = const по уравнению Клапейрона следовало бы и р~ const, что привело бы к постоянству скорости движения.
Рассмотрим, наконец, адиабатическое, а следовательно, как было показано в § 21, и изэнтропическое движение идеального газа ' conSt, рр~,с — const). В этом важном для практики случае, если отвлечься от действия объемных сил, теорема Бернулли приведет к соотношению:
Yl = Const. (61)150 динамика идеальной жидкости и газа [гл. ш
Функцию давления § можно при желании заменить по формуле (22) на тепловую функцию I = JcpT; тогда уравнение (61) перейдет в следующее:
Yl і == Yl + JcpT = const, (62)
аналогичное ранее выведенному из закона сохранения энергии уравнению (20).
Вычисляя, с другой стороны, функцию давления § по уравнению изэнтропы
(ар pT ( -I k рГ( ^ ^lx
J р7й="ЙГ J P 1tdP = TH11ГКР -Po" J =
„ P(P) Hiy "Г—к- 1 P0
P о Po
ft—1
fi -(L) к 1
~~ *-Ip0 L W г
получим еще следующее выражение теоремы Бернулли:
к—11
V*__
2 к
^st'-о7]-—-
(63)
(64)
Пусть в выбранной пока совершенно произвольно точке линии тока, где давление, плотность и температура принимают значения р0, C0 и "rQ, скорость движения равна нулю (V= 0); если в действительно происходящем движении на данной линии тока или вихревой линии такой точки нет, то всегда можно представить некоторое воображаемое адиабатическое движение идеального газа, переводящее его в состояние покоя, адиабатически его затормаживающее. Величины р0, P0 и T0 в этом случае называют соответственно давлением, плотностью и температурой адиабатически заторможенного газа. Используя выбранные таким образом постоянные величины р0, р0 и T0, можно переписать уравнение (62) в виде:
^ + JcpT = JcpT0 (65)
или
Ч1 -2?.)' (66)
Уравнение (64) при принятом обозначении переходит в известную формулу Сен-Венана и Вантцеля:
(67>? 32]
влияние интенсивности склчкл HA сжатие глзл
151
Заметим еще раз, что полученные в настоящем параграфе формулы движения несжимаемой жидкости (о = const) нельзя рассматривать, как простые частные случаи изотермического или изэнтропи-ческого движений сжимаемого газа, хотя несжимаемое движение может происходить при постоянной температурки энтропии. Условие несжимаемости (р = const) при сопоставлении" с условием изотермичности