Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема об изменении кинетической энергии индивидуального жидкого объема должна, как известно из теоретической механики, формулироваться так: „производная по времени от кинетической энергий движущегося жидкого объема равна сумме мощностей внешних (объемных и поверхностных) и внутренних сил". Отсюда следует
l^dt = |*pF-Vrfr- pm-Vrfo + |*pN,„rfc =
X о
= I'pF ¦ VrfT- I' div (/7V) rfT + J PNm dt, (45)
іде Nin представляет отнесенную к единице массы мощность внутренних сил давлений, равную отнесенной к единице массы секундной работе расширения элементарного объема в данной точке. Действительно, умножим обе части основного уравнения Эйлера (5) скалярно на VrfT и проинтегрируем по объему т; получим:
Tt f Ртг^= JpF-VrfT- Jv -gradp.
rZ rZ
Вычтем почленно обе части последнего уравнения из уравнения (45), гогда найдем
J {,N,in dz = J [div (pV) — V • grad p]dt = jp div Vdt. (46)
Отсюда в силу произвольности выбранного объема т следует:
?
P
или по уравнению неразрывности (18) гл. II:
N = — (47')
P2 dt Pdt\p)~Pdt К }
-выражение, в котором нетрудно узнать отнесенную к единице массы и времени работу расширения газа, входящую в уравнение первого начала термодинамики (v—удельный объем):
Jdq = Jcv dT-j-p dv—JcvdT-\~pd(j).
ни ^3УЛЬтат этот можно было ожидать заранее, так как уравне-ги П к\ЛеГК0 ВЫВОдится как следствие уравнения сохранения энер-и (16) и уравнения первого начала. Действительно, переписав
Ww-= div V, (47)
г 144
динамика идеальной жидкости и газа
[гл. III
уравнение сохранения энергии и первого начала в следующем несколько преобразованном виде:
fp^c, Г+-?)<ft = ^pF-Vdx — j" div (pV)dx+ j pJg dz,
«5 XZX
ft JpJcvTdx= J pJgOz- Jppjtг (j) dx
X Xt
и вычтя одно из другого, получим:
JPVf dT== JpF> Vib-Jdlv(PV)A+ fp-sd)*-
rS X rS 1C
т. е., согласно (47'), ни что иное, как уравнение (45).
Можно было бы и наоборот вывести уравнение баланса энергии (16) из первого начала и теоремы об изменении кинетической энергии, не основываясь на законе о сохранении энергии движущегося газа. В этом смысле закон сохранения энергии представляет первое начало термодинамики, примененное к движущемуся газу, так как уравнение изменения кинетической энергии является простым следствием уравнений динамики газа.
В заключение найдем эйлерову форму теоремы об изменении кинетической энергии индивидуального объема жидкости или газа. В случае стационарного движения уравнение (45) можно переписать в виде
JpF-VA- J1Jjn-Vdo+ JpdivVA- Jp^ Vnda = 0, (48)
Tax с
откуда следует формулировка теоремы об изменении кинетической энергии в эйлеровом представлении: при стационарном движении идеальной жидкости или газа сумма мощностей объемных сил и мощностей внешних и внутренних сил давлений, сложенная с переносом кинетической энергии внутрь движущегося объема, равна нулю.
Применим эту теорему к объему элементарной трубки тока между двумя произвольными ортогональными сечениями do, и A5. Будем иметь, из тех же соображений, что и при выводе теоремы количеств движения:
• JpF -VA+ Jpdiv Vdt+ ^p1 V1 + P1 -^ljdo1-
X X
— (pt ^a+Pa it) do2 = 0. (49)
В том случае, когда линии тока допускают проведение ортогональных поверхностей к ним, получим для трубки тока конечной §251
теорема бернулли
145
толщины:
TpF-Vdt+ ^pdivVrfT +
+ J(p^+ P^) do- j'(pl/ + p-J) do = O5 (50)
где o1 и o2 — два неплоских сечения трубки, ортогональные во всех своих точках линиям тока, -с — ограниченный ими и боковой поверхностью трубки объем трубки тока. Заметим, что, в отличие от теоремы количеств движения и момента количеств движения, в формулах (49) и (50) отсутствует интеграл мощностей сил давлений, приложенных к боковой поверхности трубки тока; это и естественно, так как сила давления ^ на боковой поверхности направлена перпендикулярно к скорости частиц.
Формулы типа (49) и (50) практически могут применяться лишь в случае идеальной несжимаемой жидкости, так как при этом интеграл, представляющий секундную работу (мощность) расширения, обращается в нуль; необходимость вычисления этого интеграла в общем случае сжимаемого газа делает формулы слишком сложными для применения.
§ 25. Теорема Бернулли о сохранении полной механической энергии при стационарном баротропном движении идеальной жидкости и газа
Пусть некоторая идеальная жидкость или газ под действием потенциального поля объемных сил с потенциалом П совершает стационарное баротропное движение с функцией давлений §. Тогда, опуская в уравнении Громека (13) первый член, равный при стационарном движении нулю, и умножая обе части (13) скалярно на вектор скорости V, получим, в силу перпендикулярности последнего слагаемого вектору V:
• V • grad E=V • grad E^ = О,
или, что все равно (вспомнить определение конвективной части индивидуальной производной в конце § 9 гл. I):
• § = 0, (51)
где счмвол d/ds означает производную, взятую вдоль траектории или линии тока, что при стационарном движении одно и то же. Из равенства (51) сразу следует, что вдоль траектории или линии тока величина E сохраняет одно и то же значение:
