Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Лойцянский Л.Г. -> "Механика жидкости и газа" -> 51

Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа — Москва, 1960. — 676 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkostiigaza1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 231 >> Следующая


- а

что и доказывает предложение.

Желая избежать возможных недоразумений, подчеркнем, что в только что проведенном доказательстве определялась индивидуальная конвективная производная от объемного интеграла, т. е. вычислялось изменение во времени интеграла, распространенного на конкретный движущийся объем, состоящий все время из одних и тех же частиц жидкости или газа. Это означает, чго внутри объема не могло быть источников притока (стока) новых масс жидкости или газа. Если же такие — „особые"—точки в потоке (источники или стоки) существуют, то их следует дополнительно выделять контрольными поверхностями, например, окружать сферами, и включать поверхности этих сфер в общую совокупность поверхностей, ограничивающих обьем интегрирования; таким приемом приходится постоянно пользоваться при рассмотрении движения жидкости.

Итак, полная индивидуальная производная от рассматриваемого объемного интеграла може г быть представлена следующей суммой-

ш! ф d% = кІф dx+і'ф v'»dQ- (Щ

X "-О

Полагая в этой формуле последовательно:

Ф = р, 9 (JcpTJr PV, г XpV,

получим выражения индивидуального изменения во времени: массы, энергии, количества движения, момента количества движения и кинетической энергии жидкости в рассматриваемом объеме.

Примечание. Непрерывность распределения в пространстве величины Ф была использована при выводе формулы (29) лишь в области входного и выходного сечений элементарной трубки тока. Что же касается объема трубки ArDCB', общего для начального и смещенного положений движущегося объема ADCB и выпадающего при вычислении приращения объемного интеграла, то внутри этого объема величина Ф может изменяться произвольным, непрерывным или прерывным, образом, лишь бы только интеграл сохранял определенный смысл.

Предположим, чю внугри обьема, ограниченного „контролі.-ной" поверхностью, имеются поверхности разрыва непрерывности интегрируемой величины, причем на эіих поверхностях величина эйлерова форма основных законов

139

претерпевает при переходе с одной стороны поверхности на другую конечный скачок. Будем предполагать, кроме того, что эта поверхность разрыва ни целиком, ни частью не совпадает с контрольной поверхностью, а если пересекается с ней, то на участках, где расход жидкости сквозь контрольную поверхность равен нулю (часть контрольной поверхности совпадает с поверхностью тока).

Из проведенного в настоящем параграфе вывода формулы (29) непосредственно следует, что формула сохраняет свою силу и в только что указанном случае наличия поверхностей разрыва. Такого рода поверхности разрыва встретятся в следующей главе при рассмотрении ударных волн в сжимаемом газе.

§ 23. Эйлерова форма законов сохранения массы и энергии, теоремы количеств движения и момента количеств движения при стационарном движении идеальной жидкости

Останавливаясь на случае стационарного движения жидкости, можем, пользуясь эйлеровым выражением конвективной производной (29), представить закон сохранения массы

^JpdT=O

т

в следующей интегральной форме:

J р V11^o = 0, (31)

о

имеющей простой физический смысл: в стационарном потоке полный массовый расход жидкости или газа через неподвижную замкнутую поверхность, не заключающую внутри себя ни источников, ни стоков, равен нулю.

Применим этот закон для элементарной трубки тока с двумя какими-нибудь нормальными сечениями Clo1, da2, в которых скорости соответственно равны по величине V1 и V2, а плотности: P1 и р2; тогда, замечая, что на боковой поверхности трубки тока Vn = 0, получим вместо (31) равенство

P1V1 ^a1 = PaKgda2. (32)

В этой форме закон сохранения массы можно проформулировать так: при стационарном движении жидкости или газа секундный массовый расход сквозь сечение элементарной трубки тока одинаков вдоль всей трубки.

Если плотность жидкости повсюду одинакова, т. е. жидкость несжимаема, то формула (32) переходит в более простую:

Kjdo1= V2 da2, (32') 140

динамика идеальной жидкости и газа

[гл. iII

утверждающую сохранение объемного расхода вдоль afleMeHTapHot трубки. В силу этого закона в суживающихся сечениях трубки токе скорость возрастает и, наоборот, в расширяющихся сечениях — убывает. Столь простого соотношения между скоростью и площадью сечения при течении сжимаемого газа указать нельзя, так как имеется еще третий переменный фактор — плотность.

Формулы (32) и (32') легко обобщаются и на случай трубки любогс поперечного размера. Назовем через O1 и о2 два каких-нибудь, вообще говоря, неплоских поперечных сечения трубки; поверхности о, и о5 в общем случае не ортогональны к линиям тока, более того, ортогональных к линиям тока поверхностей, как уже ранее указывалось, может и не существовать. Производя суммирование обеих частей равенств (32), написанных для отдельных элементарных трубок, по всем трубкам, составляющим данную конечную трубку, получим:

fpVn do =JpVn do, (33)

O1 O2

т. е. для трубки тока конечного размера при стационарном движении справедлив закон сохранения секундного массового расхода вдоль всей трубки. Обозначая этот секундный массовый расход сквозь любое сечение трубки о через М, будем иметь:
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 231 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed