Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Применяя формулу Клапейрона, перепишем равенство (11) в виде:
a=VkRT; (12)
отсюда следует, что скорость распространения звука в совершенном газе зависит лишь от абсолютной температуры и физических свойств газа. Замечая, что газовая постоянная R может быть выражена через молекулярный вес газа т и ускорение силы тяжести g по формуле
о _ 848g мs
т секЧрад'
Получим
/^T м/сек. (13)
Для воздуха ft = 1,4, т = 28,86; g = 9,81 м/сек и, следовательно, коросгь распространения звука в воздухе равна
а = 20,1 м/сек, (14) 160
одномерный поток идеальной жидкости {гл. lty
' в частности, при T = 273 (O0C) скорость звука достигает величинь 332 м/сек. Скорость звука в воздушной атмосфере меняется с высото{ над уровнем моря. Применяя „стандартную атмосферу", получил: табл. 4 „стандартных" скоростей звука, в зависимости от высоты нал уровнем моря.
Таблица А
H км Г К а м]сек H км т° к а м/сек H км г°к a MjceK
-1,0 294,5 345 5,0 255,5 322 11,0 216,5 296
0,0 288,0 341 6,0 249,0 317 12,0 216,5 296
1,0 281,5 337 7,0 242,5 313 13,0 216,5 296
2,0 275,0 333 8,0 236,0 309 14,0 216,5 296
3,0 268,5 329 9,0 229,5 306 15,0 216,5 296
4,0 262,0 326 10,0 223,0 300
Для газов с высоким молекулярным весом скорость звука сравнительно с воздухом принимает весьма малые значения.
Наряду с только что рассмотренным случаем одномерного, параллельного некоторой оси возмущенного движения, при котором в газе происходит перемещение плоских звуковых волн, перпендикулярных оси течения, можно было бы разобрать и случай одномерного радиального распространения круговых в плоскости или сферических в пространстве звуковых волн. В этом случае линеаризированные уравнения несколько усложняются, но так же легко решаются.1 Существенно, что в случае круговых и сферических звуковых волн скорость распространения их будет определяться той же формулой (9), что и в случае распространения плоской звуковой волны.
Предположим, что в неподвижной сжимаемой среде движется прямолинейно и равномерно со скоростью и некоторый точечный источник малых возмущений (в частности источник звука) А. Примем прямолинейную траекторию движения источника звука за ось х, выберем на ней начало координат О (рис. 33 а и б) и будем считать, что точка А вышла из начала координат в момент времени t = 0. Пусть в некоторый момент времени t = t точка А займет положение Л; определим в этот момент границы области газа, возмущенного движущимся источником, вышедшим из точки О при t = 0.
Если источник возмущений движется со скоростью и, меньшей скорости а распространения звука в данном газе при заданных термодинамических его характеристиках, или, короче, с дозвуковой скоростью, то сферическая звуковая волна, вышедшая из начала координат вместе с источником возмущений А, обгонит его и к моменту f = '
1 См., например, Г. JI а м б. Гидродинамика. Гостехиздат, М. 1947, стр. 611- ? 32] влияние интенСивнОСТи склчкл HA сжатие глзл
161
областью возмущенного газа будет являться, очевидно, вся внутренняя
часть сферы радиуса г—at (рис. 33 я),
рассмотрим теперь случай сверхзвукового движения источника возмущений (и > а). При движении со сверхзвуковой скоростью точка А сразу же обгонит образованную ею звуковую волну (рис. 33 6), вышедшую в начальный момент времени из точки О, и будет непрерывно играть роль центра образования новых сферических волн. Чтобы
а.)
(\ Ilit 1 •
,Ой J I X
Движение дозвуковое (at > uh
( о/ [ (ос -«о Ї
—"— Ut X—, _ ut —— I
Движение сверхзвуковое (atcut) Рис. 33.
найти область возмущенной среды в случае сверхзвукового движения источника возмущений, напишем в момент времени t=t уравнение поверхности сферической волны, вышедшей из точки А в момент кремени t, и найдем огибающую всех таких сфер к моменту t=t. Замечая, что в момент t центр рассматриваемой сферы будет занимать на оси х положение х = ut, а радиус сферы, как легко сообразить, °УДет равен г = a(t—t), получим уравнение сферы в виде
(х — utf + г2 = а2 (t — tf. (15)
Чтобы найти огибающую этого семейства сфер с параметром t, соста-м частную производную от обеих частей (15) по t и исключим t
11 Зак. 1841. Л Г. Лойцянскнй. 160 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ {гл. lty
из совокупности полученного таким образом уравнения
(х — ut)u = a2(t — f) (1С)
и предыдущего уравнения (15). Из уравнения (16) получим:
их — аЧ
Ut-
ifl —а* '
A2 (Ut-X)
г .....u(ut — x).
т— & — * '
после подстановки этих величин в уравнение (15) найдем:
-11^("7-^2+^ + ^ = 0' (1?) или, перенося начало координат в точку x = x — ut,
-У2 + *2 = ^^ О»)
где ?—новая координата, заменяющая х по формуле
JC = S-f-JC = ?-f-u?
Равенство (18) при и~>а. представляет уравнение кругового конуса с вершиной в точке А, осью симметрии Ox и углом раствора а, удовлетворяющим равенству
ctg a = -=L= - -1^ =W-I, (19)
s + а* \aJ ' V
*
откуда следует
sin а = —, a = arc sin —. (20)
и ' и ^
Условимся в дальнейшем обозначать символом M и называть „числом М" отношение скорости движения тела сквозь неподвижный газ к скорости распространения звука в нем, а также отношение скорости движения газа в данной точке к местной скорости звука.1
