Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
^iL=Const j или изэнтропичности (-Jc= Const j приводит к одинаковости давления, а следовательно, температуры и скорости во всем потоке. В следующей главе будут выяснены условия, при которых формулы изэнтропического движения будут приближаться к формулам движения несжимаемого газа.
Мы не будем приводить в настоящей главе примеров использования общих теорем динамики идеальной жидкости или газа, так как ближайшая и следующие за нею главы заключают в себе большое число такого рода примеров. ГЛАВА IV
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
§ 26. Одномерное течение идеальной сжимаемой жидкости.
Линеаризированные уравнения. Скорость распространения малых возмущений в жидкости илн газе
Если в потоке все динамические и термодинамические величины являются функциями только одной, в общем случае, криволинейной координаты и времени, то такой поток называется одномерным. Простейшими примерами одномерных потоков могуг служить: пространственный, параллельный некоторой оси координат поток, в котором скорость, давление, плотность и температура являются функциями только этой координаты и времени, пространственный радиальный поток с радиальной скоростью, давлением, плотностью и температурой, представляющими функции только радиуса-вектора г и t, и др.
Обратимся к рассмотрению прямолинейного потока идеальной жидкости или газа, все линии тока которого параллельны оси х, а единственная составляющая скорости и, так же как давление р, плотность р и температура Ti являются функциями х и t; при этом будем пренебрегать действием объемных сил.
Уравнения Эйлера и уравнение неразрывности сводятся в этом случае к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных:
ди . ди_ I dp 1
dP 1 д ( Ч n I
i + Tx{P")= О, I
с тремя неизвестными функциями и, р, р. Чтобы сделать систему определенной, необходимо добавить уравнение связи между р и р, если движение баротропно, или уравнение Клапейрона и уравнение баланса энергии — в общем случае произвольного движения идеального, совершенного газа. Интегралы таким образом составленной системы уравнений должны удовлетворять определенным начальным и граничным условиям. ? 32] влияние интенсивности склчкл HA сжатие глзл
153
Задача о разыскании решений нелинейной системы уравнений (1) лаже для простейших баротропных процессов очень сложна.
Случай движения несжимаемой жидкости (р = const) исследуется просто, но не представляет интереса, так как при р — const уравнение неразрывности приводится к условию независимости скорости от
координаты = О), что соответствует квазитвердому поступательному движению жидкости вдоль оси X.
•Начнем с решения следующей математически не сложной, но принципиально важной задачи: в находящемся в равновесии, покоящемся идеальном газе создаются весьма малые возмущения скоростей, давлений и плотности так, что возникающее при этом движение является одномерным, параллельным оси х баротропным движением, зависящим лишь от координаты х и времени t; требуется разыскать элементы возмущенного движения. Обозначим через и, р и р скорость, давление и плотность возмущенного движения, через P0 и Po—давление и плотность при равновесном состоянии газа, причем отвлечемся от действия объемных сил; тогда, вводя еще обозначения а', р', р' для малых возмущений скорости, давления и плотности, будем иметь:
U = U ,
P = Po +Pr,
P=P0-J-P'.
(2)
Подставим эти значения возмущенных элементов в систему уравнений (1) и откинем в них произведения малых величин и их производных по координатам, как малые высших порядков. Тогда, замечая, что в силу баротропносте движения
получим вместо нелинейной системы (1) следующую линейную систему Двух уравнений с двумя неизвестными и' и р':
dt ' P0 Vdp /о дх ' dt дх
(3)
^истема (3) может быть названа линеаризированной по сравнению нелинейной системой (1), так как она получена из нее путем линеа-P зации, заключающейся в откидывании малых второго и высших порядков. 154 одномерный поток идеальной жидкости {гл. lty
На первый взгляд непонятно, каким образом неопределенная система (1) стала определенной, хотя связь между р и р явно не задана. Очевидно, что при малых отличиях возмущенных значений р и р от невозмущенных, равновесных р0 и р0, любая аналитическая связь между р и р вполне определяется заданием равновесного значения производной
от плотности газа по давлению или обратной величины • Замечая, что величина ^всегда существенно положительна, введем обозначение
и перепишем систему (3) в форме:
ди' a df'
ди' _ дР' Ро дх ~ df
(5)
В системе уравнений (5) переменные и' и р' могут быть легко разделены. Дифференцируя обе части первого уравнения системы (5) по времени t, а второго по х, умножая после этого обе части второго уравнения на а'о и вычитая его почленно из первого, получим:
дЧ' з д"-и'
«о -^т = 0. (6)
дР и дх* Аналогично найдем уравнение для определения р'
d8p' a d2f'
а замечая, что
a- ^? = 0' <6'>
Pf=P-P0 = ^ffcj (р —Po) = Пор', найдем и уравнение для р':
