Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
-•<KW-Mx)<e- <5>
Пусть при Ш>_а имеем: х(А,)=0 и лрп(Я,) =0 при всех п, a функция a(A.)eS финитна и равна 1 при Ш<а. Умножим обе части неравенства (5) на а (Я); так как (X) а (А,) = =фп (А.). получаем
— еа(Х) < фЯ1 (/.) — (X) < sa(X).
Но в силу (4), применение функционала В сохраняет неравенства между функциями из 5. Поэтому
— s {В, а ) < (Я, ф„,) — {В, ф„.) < s[В, а),
что и доказывает, что можно определить {В, %) как Нш (В, ф„).
П-*оо
Итак, функционал В можно продолжить (как линейный непрерывный функционал) на непрерывные функции, обращающиеся в нуль вне любого отрезка. Положительным функциям будут соответствовать неотрицательные значения функционала. По теореме Рисса (см. [23]) такой функционал задается функцией с ограниченным изменением; из неотрицательности его значений на положительных функциях вытекает, что он задается мерой F.
Остается оценить рост меры F на бесконечности, т. е. установить оценку (2). Допустим противное: при любом At>0 интеграл (2) расходится. Тогда укажем некоторую функцию ФeS, к которой нельзя применить функционал В, что будет означать противоречие.
Действительно, если при любом k=\, 2,... интеграл (2) расходится, то существует последовательность чисел 0<mi< <m2< ... <mft<mft+i< ..., такая, что, например, mk>k2y расстояние mft+1—mh>2 и
I Н^г>1- <в>
Возьмем функцию Р(Х), равную на отрезках вида mk-j-+ 1/2<|Х|<т4+1 — 1/2 функции 1 /(1 -f |Х|*), k— 1, 2,...,
...» и равную нулю между этими отрезками. В силу (6) 00
интеграл J {J(X)F(dX) = оо. Функция Р(Х) убывает быстрее
любой степени X, но это еще не есть искомое протнворе* чне, поскольку Р(Х)—как разрывная функция — ие входит
184
в S. Возьмем свертку (3(Х) * d(X), где d(\) — гладкая функция, обращающаяся в нуль при |Х| > 1/2 и такая, что
оо
f d(\)dk=z 1. На отрезке mk+ 1<|Ц<тЛ+| — 1 функциш Р().)* d(\) будет не менее, чем ^-(1 + М*) * (так как прн
ы
| Х| > тк >?* отношение (1 ¦+¦ |XJ*) | (1 + (X + 1)*)« ^1+ близко к 1J, следовательно, интеграл | Р(Х)* dQ.)F(dl)—
' -—о©
= оо в силу (6). Но — как свертка с гладкой финитной функцией — эта функция гладкая, убывает быстрее любой степени вместе со своими производными (для дифференцирования свертки р(Х)* d(X) достаточно дифференцировать dp.) и потому входит в S. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь случай обыкновенного процесса. В случае обыкновенного процесса корреляционная функция B(t) удовлетворяет неравенству \B(t) 1^5(0) (в силу положительной определенности). Покажем, что отсюда вытекает, что мера F от всей прямой конечна. Действительно,
оо
м Ш(ф)|* = (в, ф* ф) = j Щ) ф * ф (0 dt <
<В(0) С
ф * ф (t)
dt.
Возьмем в качестве ф(1) плотность нормального закона с параметрами (О, а): ф(/) = (о ехр { — 1*|2а*}.
Тогда
оо _
f ф* ф(t)dt = 1,
—во
фМ- 57ехР {—<Т*Х*|2).
Мы получаем, что при любом о>0
(в, ф * ф) = 2« (в, 1ф|а) =
= J ехр(—а*Х*) F(dXX Я(0)-
Устремляя а-^0, получаем, что J F(dX)<B(0).
—оо
«о
На самом деле, ?(0) = J F(d\); более того,
—оо
В(0- ] euxF(dX) (7)
—ОО
(так называемая теорема Бохнера — Хинчина).
В самом деле для любой
(В, q>)= j fi(F)<p(*)<tt = 2*(?, ф) =
«в / оо Ч
= 2* J F(dk) . I JL j е-ЛХф(\)dt U
- J (J e^iwW)*, (8)
—00 \—00 /
00
поскольку в силу конечности J|<p(/)|<ft и меры F{(—оо, 00
оо)} = j F(d\) интегрирование можно производить в лю-«-00
бом порядке. Из (8) получаем B(t)= J- e~itxF(dty, что в
—00
силу вещественности (неотрицательности) F эквивалентно (7).
Легко проверить, что всякая функция вида (7) является положительно определенной (следовательно, может быть корреляционной функцией стационарного случайного процесса).
Мера F в теореме и соотношении (7) называется неслучайной спектральной мерой стационарного случайного процесса. Если мера имеет плотность
FM)=?/(X)rfX,
то f (А.) называется спектральной плотностью стационарного случайного процесса (в следующем параграфе у нас появится случайная спектральная мера, входящая в спектральное разложение самого случайного процесса; случайной же спектральной плотности не бывает).
!86
§ 4. Спектральное разложение обобщенного стационарного случайного процесса
Стационарный случайный процесс является преобразованием Фурье от некоторого нового объекта — случайной меры с ортогональными значениями (короче: ортогональной случайной меры). Рассмотрим сначала этот объект.
