Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Пространство К состоит из финитных бесконечно дифференцируемых функций ф; сходимость ф„—*-ф понимается следующим образом:
1) существует интервал, вне которого все ф„ обращаются в нуль;
2) функции ф„ вместе с любыми их производными ф *, k=1, 2, ..., равномерно сходятся к функции ф или ее производным:
sup I Фп (0 — ф(01 —* 0. sup /фА** (<) —
г г
-фт(*)|-*0, Л-1. 2, . . . . (1)
Пространство S состоит из бесконечно дифференцируемых функций ф(t), убывающих на бесконечности быстрее любой степени вместе с их производными: для любого 0
(1+|/|«)ф(*)(0—0 (т—оо); ft=0, 1..........
Сходимость в S понимается как равномерная сходимость функций и их производных, которая не исчезает при умножении на любую степень И: последовательность фп(0 сходится к ф(t) в смысле сходимости в S, если для любого т>О
sup |(1 + |*|«) (ф|?> (0 - ф'*’ (*)) | - 0. ft = О, 1. (2)
Функционалами на К являются прежде всего выражения вида
F(<p) = (F, ф)= j Щ q>(0 dt. (3>
—оо
где F(t) — локально интегрируемая функция (это означает, что интеграл от |F(f)| по любому конечному отрезку конечен). Выражение (3) задает функционал на S, если предпо-
178
ложить дополнительно, что функция F(t) на бесконечности медленно возрастает: это значит, что функция F(t) возрастает не быстрее некоторой степени: существует такое т>О (некоторая степень t), что
sup |F(f)(l + 1*т1Г1|<°°- (4)
t
Действительно, при выполнении (4) <p&S интеграл (3), очевидно, сходится, н еслн <р„—> ф в S, то F(<pn) —>f (ф)- Если (3) заменить на интеграл от некоторой производной ф(k>(t), то также получится непрерывный функционал. Например, если F(t) — \ при /^0 и F(t)= 0 при t^O, то
яг О
j1 ( ф'(*)Ж = ф(0)
—во —00
(так как ф(—оо)=0 для основных функций ф). Мы ранее (п. 1.4 из § 1 гл. 3) рассматривали такой функционал под названием б-функции Дирака. Познакомиться с общим видом функционалов в пространствах К и S можно по [14].
Не представляет труда определить обобщенный случайный процесс над любым пространством основных функций.
Определение. Обобщенным случайным процессом 1=?(ф) будем называть непрерывное линейное отображение |:ф—*-La множества основных функций ф в множество случайных величин La ¦
Если |(t) — обычный случайный процесс с корреляционной функцией B(s, t), то, в силу формул (7) и (8) (при Т= = (—оо, оо)) п. 1.2 предыдущего параграфа, возникает и отображение |—*-?(ф), т. е. обобщенный случайный процесс. Вообще говоря, формулы (7) и (8) имеют смысл лишь для финитных ф, т. е. мы получили обобщенный случайный процесс над К. но если функция B(s, t) возрастает при Ы—>оо или UI —>оо не очень быстро, то соответствующие интегралы сойдутся и для фе5, т. е. получится обобщенный случайный процесс и над S.
Получить обобщенные случайные процессы, не сводящиеся к обыкновенным, можно, например, операцией дифференцирования. Действительно, в предыдущем параграфе мы выяснили, сколько раз можно (и можно ли хотя бы один раз) дифференцировать обыкновенный случайный процесс. Обобщенный же случайный процесс можно дифференцировать сколько угодно раз, пользуясь определением
(?'. <р)=—(?, ф').
аналогичным определению производной обобщенной функ-12* 179
цин. После того как обыкновенный процесс продифференцировали столько раз, сколько позволяет гладкость корреляционной функции, дальнейшие производные будут обобщенными процессами.
Аналогами понятий корреляционной теории будут:
1) математическое ожидание
т(<р)=М?(<р)
(это линейный, в силу линейности i(<p):i(<pi+<p2)=t(<pi) + + 1(фг) функционал);
2) корреляционный функционал
5(ф, я|э) =М1(ф)1(я|))
(это билинейный эрмитов функционал: В(ф, -ф) =5(-ф, ф)).
Стационарный обобщенный случайный процесс (в широком смысле) нужно определить как процесс, инвариантный относительно сдвигов. Именно положим Фд(0=Ф(*~^) и потребуем, чтобы т(фА) = т{ф) и В(фЛ, ЛА) => B(q>, I). Тогда сравнительно нетрудно показать, что т(ф) =
ОО
= ш )' ф(0<й» где ш — некоторое число, но гораздо труд-
—во
нее исследовать корреляционные функционал (см. [12]).
В данной книге принят упрощенный путь введения понятия обобщенного стационарного процесса. Во-первых, мы вводим его не над К, а над S; во-вторых, определяем корреляционный функционал не через билинейный, а через линейный функционал. (Это соответствует тому, что для обычного стационарного случайного процесса корреляционная функция есть функция не двух переменных, а одного.) Впервые такой способ предложен японским математиком К- Ито в 1954 г.
Можно было бы подумать, что за счет расширения пространства основных функций (что должно вести к сужению класса возможных функционалов) и ограничения вида корреляционного функционала мы потеряли некоторые обобщенные случайные процессы. Но оказывается, что для стационарных обобщенных случайных процессов это не так: получается в точности тот же класс процессов (см. [12]). С другой стороны, при нашем подходе теория стационарных обобщенных процессов превращается в довольно простое упражнение, для которого не нужно знать ничего, кроме основных определений (например, основная теорема о виде корреляционного функционала доказывается проще, чем известная теорема Бохнера — Хинчина для обыкновенных процессов: сравните изложение в [15]) с последующим изложением).
