Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 71

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 161 >> Следующая

Начнем с теоретически более простой операции —интегрирования. Пусть Т — конечный отрезок, ?(f) — непрерывная кривая в La. Определим интеграл | ?(<)<** как предел римановых интегральных сумы
адж+.-'о. (4)
где 11, t2,.... tn — разбиение отрезка Т.
Нужно уметь доказать, что при измельчении разбиения ^тах(Г+,— ) —> Oj суммы (4) сходятся к пределу в
1?а, иначе говоря {(в силу полноты 1^), получается фундаментальная последовательность.
Как н для обычных интегралов Римана, ключевым моментом доказательства является оценка разности между суммой (4) и такой же суммой, но отвечающей более мелкому разбиению. Это означает, что второе разбиение получается добавлением некоторых новых точек к разбиению t\, t2, .... tn. При этом отдельное слагаемое %(ti)(ti+i—U) заменится суммой
где t) означают точки нового разбиения. Оценим разность между ?(*,) ( —/,) и суммой (5):
Wi) (*<+1 — — 2 t/)(*/+itl) =
= 2 (&м—?( */)( *ж — */)• (6)
Поскольку
II Wi) -1 {t'i) IP = В (f„ tt) -B{tu t'i) --Bit], f,) + 5(<;, t'i),
а функция B(s, t) равномерно непрерывна на TxT, то при [Лч-1—выражение (6) оценивается как e(6)(/,+i—tt), а разница между двумя суммами, отвечающими разбиению fa} и {MU{0'}< — как е(б)|Г1, где 171 — длина отрезка Т и ? (б) —>О при б—*-0.
Если теперь взять два произвольных разбиения отрезка Т точками {s,} и точками то, объединяя точки {s,} и точки {?,}, получим разбиение, более мелкое как по отношению к первому разбиению, так и по отношению ко второму разбиению. Если
8 = max { max ( */+I - s,), шах (t.+i - f,)j,
то каждая из сумм, отвечающих {s,} и {/)}, отличается не более чем на е(6)1Л от суммы, отвечающей объединенному разбиению. Следовательно, друг от друга эти суммы отличаются не более чем на 2е (б) IЛ —> 0 при б —> 0. Построение интеграла Римана закончено.
Аналогичные рассуждения доказывают существование интеграла
«Ф)= \W)v(t)dt, (7)
т
где ф(0 — непрерывная функция на Т. Подсчитаем квадрат нормы выражения (7):
НЕ (Ф)II2 = М|U<t)I2 = lim 2 МШЩ) X
tvtj
х ф(/,) Ш (/*+1 - ti){ ti+l -1,) =
— f f B(s, t) q>(s) ф(7) ds dt =
TT
173
= Пя(5, f)q>(*)q>(fyfcdf,
поскольку после замены M|(/,)?(*j) на B(tn tfi = B(th t,) двойная сумма по tt и t} превращается в интегральную сумму для двойного интеграла от непрерывной функции
B(s, г) <p(s) ф(7) (либо для функции B(s, *)ф(®)ф(0)-
Замечание. Если понимать?(<) = ?(/, <о) как измеримую функцию от пары t, ш, то тот же результат может быть получен проще с помощью теоремы Фубини. Действительно,
1?(ф) I* *= 1(ф) • 5(Ф) = J W) ф(0 dt' \Us) ф(5) ds —
т т
= ( f ?(*)I(0«Rij <p(t)dsdt. т'т
Применяя к последнему равенству операцию М вычисления' математического ожидания (т. е. интегрирования по шей) и переставляя интегрирование по ш с интегрированием по s и по t, получаем
м Ш11 = f f m(s) i(0iw ф(0 dsdt =
т'т
= f f B{s, t) ф(7)ф(0 dsdt. (8)
T T
Видим, что общие представления (в данном случае — об измеримости \(t, to)) могут приводить к аналитическим формулам (мы много раз это видели ранее). Но обоснование возможности понимать |(t, о) как измеримую функцию на Гхй выходит за пределы данной книги (с ним можно познакомиться, например, по [19]).
Обратимся к дифференцированию. Мы хотим, чтобы существовал предел lim(?(* 4-Л) —?(/))/Л, конечно, в смыс-
*-о
ле Z-n.
Рассмотрим скалярное произведение
/Z(s+h)-S(s) S(t-H)-1;(0
Предел выражения (9) при Л—*-0, k—*-0 обязан существовать, если существуют производные случайного процесса f (t) в точках 5 и / (скалярное произведение есть непрерывная функция). Но на предел выражения (9) можно смотреть как на некоторую обобщенную вторую производную от корреляционной функции, которая, конечно, совпадает с Bst (s, t), если корреляционная функция дважды непрерывно дифференцируема. В частности,
limM
*~о
е($+А)-е(»)
= В", (s, s).
(Ю)
Установим обратное: если корреляционная функция дважды непрерывно дифференцируема, то случайный процесс 1(f) имеет производную (в среднеквадратическом смысле). Для этого нужно проверить фундаментальность отношения (%(t+h)—1(0/Л при Л—>О. Имеем, используя (9) и (10),
5(/+Л)-5<<) 5(<+А)-5<0
E(t+A»-*(0
+
W+k)-Ut)
b(t+h)-ut) 5(<-И)-5«) Л ’ k
/И1+*)-Ц О ?(<+*)-?(/)
k ’ k
V к
-*B"«{t, t) + B',t(t, t)-B«(t, t)-B],(t, 0 = 0
(предел берется при Л—>О, k—>О; для исследования предела выражения (9) проще всего воспользоваться формулой Тейлора для функции B(s, t)).
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed