Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 72

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 161 >> Следующая

Таким образом, для существования какого-то числа производных у случайного процесса достаточно существования двойного числа производных у корреляционной функции. От кривых в гильбертовом пространстве мы перешли, изучая возможность аналитических операций, к свойствам функций обычного анализа.
§ 2. Обыкновенные и обобщенные стационарные случайные процессы
2.1. Понятие стационарности. Чтобы быть в прикладном смысле самозамкнутой, корреляционная теория должна обеспечить возможность практического определения своих понятий — моментов первого и второго порядка. В принципе лю-
175
бые математические ожидания определяются путем многократной реализации случайного объекта (в данном случае — многократного получения реализаций случайного процесса) и усреднения по ансамблю реализаций тех функционалов, для которых нужно получить математические ожидания. Но на практике — в силу ли особенной неопределенности понятия ансамбля для реализаций случайного процесса (пытаясь воспроизвести много реализаций, мы рискуем нарушить статистическую однородность экспериментов) либо практического удобства — стараются заменить усреднение по ансамблю усреднением по времени. Это возможно для процессов, вероятностные характеристики которых не меняются во времени, т. е. для так называемых стационарных процессов.
Существуют два основных математических определения стационарности. Стационарностью в узком смысле называют неизменность любых конечномерных распределений процесса при сдвиге времени: для любого набора моментов времени '1, t2. .... tn и любого Л
Pft i%. ¦ . tn = Pft+*. fi+h..... + й •
Стационарностью в широком смысле называют неизменность при сдвиге времени математического ожидания: m(t)=f\\(t) не зависит от t, т. е. m(t)=a, где а — константа, и корреляционной функции
B(s, t)=B(s+h, t+h)
для любых s, t и Л, что означает, что B{s, t) зависит только от разности s—t=u. Иначе говоря, функция двух переменных B(s, t) сводится к функции одного переменного, которую мы будем обозначать той же буквой В: B(s, t)=B(s—t) = =В(и). Делая замену s=t+u, получим
B(u)=B(t+u, o=m(t+u)W)=m(Ow+u) (l)
(обратите внимание на расстановку комплексного сопряжения, например, при и>0 более раннее значение %(t) входит в комплексно-сопряженном виде, а более позднее %(t+u) без комплексного сопряжения).
Конечно, справедливо соотношение В(—и) = В(и).
В практических вопросах, пока мы пользуемся корреляционной теорией, фактически применяется стационарность в широком смысле. Но мотивируется она обычно тем, что «процесс во все моменты времени протекает одинаково», т. е. стационарностью в узком смысле. (Конечно, в математике из стационарности в узком смысле вытекает стационарность в широком смысле лишь в предположении существования соответствующих математических ожиданий, которые выражают-
176
ся через конечномерные распределения.) Поскольку стационарный процесс определяется как инвариантный по отношению к сдвигу времени, область 7’={f} значений временного аргумента также должна быть инвариантной по отношению к сдвигу; это возможно либо в случае Т= (—оо, оо), либо (для дискретного времени) в случае T=Z, где Z — множество целых чисел 0, ±1, ±2,... (тогда сдвиг времени А тоже должен быть целым числом). Вообще говоря, t — не обязательно время. Стационарность возможна, если Г={?} есть некоторый объект, на котором определено действие группы преобразований, например окружность, сфера, плоскость Лобачевского и т. д. Но мы будем понимать t как время.
Выпишем аналог формулы (8) п. 1.2 предыдущего параграфа для стационарного случайного процесса. Рассмотрим функцию <р(0, убывающую при t—*-±оо достаточно быстро, чтобы существовал (в смысле Ьъ) интеграл
т
?(Ф)= \ W)<p(t)dt,
моо
аналогичный интегралу (7) при Т=(—оо, оо). Подставляя в (8) вместо B(s, t) функцию —t)=B(u), получим (делая
замену s=t+u)
ОО оо
М|?(ф)|*= j J B(s — t) cp(s) ф(0 dsdt —
—О» —00
______ oo oo ____
¦* M |?(ф)|* = j f B(s — t) <p(s) <p(f) dsdt
—00 —00
oo oo
= j B(u) j ф($) ф(«—u) ds da =
—m -e.
m ______ _
= j B(u) ф* ф(u)du,
«•30
где функция ф* ф есть свертка (композиция) функции Ф(0 с функцией ф(0 = ф(— *), задаваемая формулой
о» ж
Ф * Ф (u) = J ф(5) ф (а — *) ds =
ОО
¦* J ф(«) ф(5 — и) ds.
12—2567
177
Формула
ЛЩф)|*= j В (и) ф* ф (u)du (2)
-во
будет положена в основу определения обобщенного стационарного случайного процесса.
2.2. Обобщенные стационарные случайные процессы. Сначала напомним простейшие понятия теории обобщенных функций. Обобщенная функция есть, по определению, непрерывный линейный функционал, определенный на некотором пространстве основных функций. Интерес представляют следующие два пространства основных функций.
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed