Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
(для 0<A,i<A,2 случайная мера Z{[XU Я2]}=Ш1 (A*)— wx (A,i); для A,i<A,2<0 случайная мера Z{[Kь Я2]}=—о>2(1Я21) + -l- ш2 (I Xi I) = ш2 (I Xi I) — ш2(|Я2|), а если A,i<0<A,2, то мера Z{[Ki, Я2]} равна сумме мер отрезков [Яь 0] и [0, Я2]). При этом M|Z{[A.|, Я2]}12=о21Я|— Я21, MZ{[A,i, Я21}=0, а для непе-ресекающихся отрезков [Яь Я2] и [Я/, Я2'] значения меры Z независимы, следовательно, и ортогональны.
Немного повозившись, можно продолжить меру Z на бо-релевские подмножества А, получив, что
где 1(A) — лебегова мера (длина) А. Мера F(A) есть мера степенного роста:
Z{[\ 1, Я2]}=Z(Я2)—Z(h)
F(A) - М \Z (А) [» = a* 1(A), /(X) = Ш- - а*.
1(A)
13*
195
Следовательно, можно рассматривать обобщенный случайный процесс ? со спектральной мерой Z. Этот процесс называется белым шумом интенсивности о2. Его корреляционный функционал В является преобразованием Фурье от меры оЧ(А), т. е. равен 2яо26(0. Следовательно,
_ оо
ЛЩф)1* = (я. Ф * ф) = 2-а* . j* I<p(0|*d/ =
—ОО
= 2 «о» II ф II2, (3)
где ПфН2 понимается в смысле нормы в L2 по мере Лебега.
Если на всей прямой —oo<f<oo определить винеров-ский процесс w(t) (так же, как это было сделано для функции Z(%)) с параметром 2яа2,то случайный процесс ?(/) можно понимать как обобщенную производную w(t). Действительно, для гладкой финитной функции ф=ф(0
ОО
(»', ф) =» — (w, Ф')= — j и»(/)ф' (t)dt=*
—ОО
= - J »{*) d<p (t) = — lirn 2 w(t,) M*i+1) — Ф(/,)) =»
—00 ^
= Urn S Ф(*0 И*«) — 1)).
i
откуда
М|(ш', ф)|* = 2*о* lim S 1ф(*«) I* (h ~ {i-i) —
= 2« o* j |Ф(0|*Ж. (4)
—ao
M(w\ ф) = 0.
Равенства (4) означают, что (как обобщенный процесс в широком смысле) w' =
Итак, белый шум есть производная от винеровского процесса (которой в обычном смысле не существует). Поскольку приращения винеровского процесса в различные моменты времени независимы, говорят еще, что белый шум есть процесс с независимыми значениями. Его спектральная плотность равна константе.
Часто на практике случайный процесс, о котором мало что известно, считают белым шумом. Мы сейчас увидим, что при расчете прохождения процесса через различные филь-
196
тры это может быть достаточно разумно. В других случаях пользуются белым шумом в полосе частот Л: считают, что f(K)= С при Ш<Л и /(А,)=0 при Ш>Л. Нелишне заметить, что белый шум в полосе частот — это обыкновенный процесс, реализации которого ?(/) являются аналитическими функциями t. Поэтому не следует абсолютизировать эту модель (как и модель белого шума, значения которого при каждом t бесконечны).
5.3. Дифференциальные уравнения со случайной правой частью. Дифференцировать случайный процесс
5(0 — ] ea,Z(dk) (1)
— 00
— одно удовольствие:
!<*>(/)= j (i\)*eixlZ(dk),
—00
и это имеет смысл в области обыкновенных процессов, пока M|6‘*»(0l*= ] |(Л)‘е|ХТ F(dX) =
= J |X|2*F(dX)<oo.
— 00
а в области обобщенных процессов имеет смысл всегда, так как если мера F является мерой степенного роста, то и при любом k мера, элемент которой равен \X\2hF(dX), тоже есть мера степенного роста.
Рассмотрим уравнение
р(-2г)х(/)-М' (2>
где Р — полином с постоянными коэффициентами, \(t) — случайный процесс, заданный спектральным разложением
(1). Достаточно найти какое-нибудь частное решение (2). Поищем его в виде стационарного случайного процесса
*(0= ] eiX/q>(k)Z(dk). (3)
197
Подставляя (3) в (2), получаем
ОО
Р J еШ<р(Ь)*«ВДА) =
= 6(1)= ] eix'Z(dk), (4)
— ЭО
т. е. чтобы удовлетворить (4), достаточно положить
Ф(Х) = —— . (5)
v ' P(iX)
Так положить будет хорошо, если Р(&)Ф 0 при вещественных X. Если же это не так, то нас не спасает никакая теория обобщенных процессов: интеграл (3), вообще
говоря, не существует ^он существует лишь в случае
f ^(X)|*F(dX)< ooj. В частности, в следующем пункте мы
исследуем уравнение
которое не имеет решения, являющегося стационарным случайным процессом (в то время как формула (3) всегда задает стационарный процесс).
Решение (3) с практической точки зрения выглядит странно: оно выражено через какой-то сложный объект — случайную ортогональную меру Z. Но его практически важные характеристики легко подсчитываются, например,
