Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Pr(B)=Ps7(sfl), (2)
где символом P-j*(5) кратко обозначена конечномерная вероятность (или конечномерное распределение), отвечающее набору Г=(^............tn).
(Мы доказали (2) для случая В = Вгу,. . . X Вп\ но левая и правая части (2) являются мерами в R", которые однозначно определяются своими значениями на „параллелепипедах" B = BiX. . ,хВп.)
162
Далее, рассмотрим два набора моментов времени: (ti,... tn) и более широкий набор (Л, tn, t\, .... tm'). Совпадают следующие события:
{<": (?,,,. . ¦ , &„) е ?} = {»»: Ья,
1 m
Это означает, что должно выполняться следующее соотношение:
& XRm). (3)
" я 1 m
Условия (2) и (3) называются условиями согласованности. Они обязаны выполняться для любого случайного процесса ?=?(? ©),
3.3. Теорема Колмогорова. Мы убеждались, что для любого заданного распределения вероятностей ц в Я" существует случайная величина ?, имеющая ц своим распределением вероятностей (для этого надо положить ?2 = Л", в качестве измеримых подмножеств взять борелевские, положить Р(В) = ц(?) и, наконец, взять |(w) = u>, шей"). Теорема Колмогорова утверждает, что любому набору согласованных распределений (т. е. мер в пространствах Я", удовлетворяющих условиям (2) и (3) предыдущего пункта) отвечает случайный процесс, для которого меры Р^,...*я являются конечномерными распределениями.
Пусть Т есть множество значений t. Возьмем в качестве О пространство RT, т. е. множество функций
<o^(o(t), t^T, <a(t)^Ri.
В число измеримых множеств, т. е. событий, включим для начала так называемые цилиндры в RT: каждому набору моментов времени tv . . ., tn и каждому борелевскому множеству Bc:Rn поставим в соответствие подмножество Cit...tn(B)c.RT, определяемое формулой
С/,..^(Я) = <® = щ(0:(«(*1).. • •’ <o(fn))efi}, (1)
которое и называется цилиндром, определяемым набором (t\, .... tn) и основанием В. Иногда для цилиндра (1) применяют следующую выразительную запись:
Ctl..,n(B) = BXRT^t......Ч
которая явно показывает, что речь идет о прямом произведении основания В на такое количество прямых, сколько имеется точек в множестве T\(tu ..., tn).
II* 1G3
В дальнейшем мы, конечно, положим (вдохновляясь аналогией со случайной величиной)
6=6('. о) =(0(7).
Поэтому мы должны положить
Р(С|..Л(Д)) = Р,,.Л(В). (2)
Но запись цилиндра Ctt..jn(B) в форме (1) неоднозначна. Можно переставить моменты tv . . ., fn и одновременно переставить координаты точек В: получится тог же самый цилиндр. Но первое условие согласованности (формула (2) предыдущего пункта) говорит нам, что при этом правая часть (2) не изменится.
Можно к моментам tv . . ., tn добавить некоторое число моментов времениfj,..., tm, записав, что в моменты tt'm функция ш(0 принимает любые значения из Я1. Опять получится тот же самый цилиндр, но второе условие согласованности (формула (3) предыдущего пункта) говорит нам, что и в этом случае правая часть (2) будет определена без противоречия.
Описанная неоднозначность полностью исчерпывает неоднозначность записи цилиндра: если два цилиндра определены на одном и том же наборе моментов времени (t\, .... tm), записанном в одном порядке, то они совпадают в том и толь* ко в том случае, когда совпадают их основания. Итак, определение (2) корректно.
Цилиндры образуют алгебру: любое конечное число цилиндров можно определить на одном и том же наборе моментов времени (взяв теоретико-множественное объединение наборов моментов времени для всех цилиндров и записав его в каком-то определенном порядке). Тогда теоретико-множественные операции над цилиндрами будут эквивалентны тем же операциям над их основаниями. Мера Р, определенная соотношением (2), рассмотренная для конечного числа цилиндров будет эквивалентна мере в конечномерном пространстве; следовательно, на алгебре цилиндров мера Р конечно-аддитивна.
Теорема Колмогорова. На алгебре цилиндров мера Р счетно-аддитивна.
Доказательство. Как известно, счетная аддитивность на алгебре эквивалентна аддитивности и так называемой непрерывности сверху: если имеется последовательность измеримых множеств э Аг^ ... э Ап з ..., та-
П
кая, что f) Ai = 0, то должно выполняться соотношение
i-l
P(i4n)—>0. Следовательно, нужно доказать лишь непрерыв-
164
ность сверху меры Р. Это означает, что требует доказательства следующее утверждение: если имеется вложенная последовательность цилиндров
оо
^ .... такая, что Р(С„) >е>0, то пересечение f| Ct непусто.
<•— i
Без ограничения общности можно предположить, что цилиндры Сь С2,..., С„... определяются все время расширяющимися множествами моментов времени: при увеличении номера п на единицу к набору моментов времени, определяющему цилиндр С„, лишь добавляется какое-то конечное число точек (возможно, равное нулю) для задания цилиндра Сп+\-
