Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
кании графика той же функции, рассмотренной для значений аргумента feZ, где Z — счетное всюду плотное подмножество Т). Но с дальнейшим развитием теории случайных процессов подобные «теоретико-множественные» трудности возникают вновь и вновь. Если мы захотим, чтобы случайный процесс %(i, to) был измеримой функцией от пары (t, ш), т. е. на произведении ЙхТ, опять придется подчищать множество элементарных событий. В теории марковских процессов обычного марковского свойства оказывается недостаточно, и появляются строго марковские процессы. Наконец, если мы пожелаем рассмотреть число пересечений траекторией процесса некоторого уровня, то сначала надо доказать, что это число с вероятностью 1 конечно, а затем уже подсчитывать (совершенно иным методом) его вероятностные характеристики, например математическое ожидание.
Обилие этих теоретико-множественных трудностей при невозможности справиться с ними радикально заставляет признать, что объект RT=Q при несчетном Т оказался довольно диким и не полностью укротимым средствами теории меры. Если при этом вспомнить, что абстракция точной наблюдаемости значений ?(/, ш) как при конечном числе значений t, так и нри всех t^T является довольно условной, то становится ясным, что тому, кого теория вероятностей интересует с точки зрения приложений, лучше держаться подальше от тео-
167
ретико-множественных трудностей, связанных с понятием случайного процесса. В частности, в данной книге теорема Колмогорова применяется на математически строгом уровне лишь для счетного Т. Как известно, в математике все связано, н из теоремы Колмогорова, относящейся к мерам в функциональном пространстве, получим, в частности, свойства собственных значений некоторых самых обыкновенных конечных матриц. Но в ряде случаев, когда Т несчетно, наше изложение будет не вполне математически строгим.
ГЛАВА 5
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Введение. Основной целью настоящей книги в части теории случайных процессов является изложение простейших методов исследования динамических систем, подверженных действию случайных возмущений. Динамическую систему понимаем узко — как систему, описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями (не касаясь, следовательно, систем, описываемых уравнениями в частных производных). В систему обыкновенных дифференциальных уравнений могут (в качестве правых частей, коэффициентов или как-нибудь иначе) входить случайные процессы.
Читатель заметит, что определение случайного процесса у нас все время несколько меняется в зависимости от рассматриваемых конкретных вопросов. В корреляционной теории случайный процесс — это непрерывная кривая в гильбертовом пространстве. Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в правую часть которых входят случайные процессы, очень полезно преобразование Фурье; но наибольшую естественность это понятие имеет не в обычных, а в обобщенных функциях. Поэтому появляются обобщенные случайные процессы. Марковские цепи (в гл. 6) рассматриваются с помощью теоремы Колмогорова о продолжении меры (оказывается, что таким методом наиболее просто доказать некоторые свойства собственных векторов обычных матриц конечных размеров). В основу рассмотрения динамических систем со случайными воздействиями положено понятие цепи Маркова, а диффузионные процессы вообще рассматриваются на физическом уровне строгости; к динамическим системам имеют прямое отношение лишь их распределения вероятностей в рамках некоторой предельной теоремы. Не рассматриваются стохастические интегральные уравнения по весьма прозаической причине: курс теории вероятностей и случайных процессов; на основе которого написана книга, оказался последним математическим
168
курсом в учебном плане и был поэтому задуман как повторенные основного математического материала, изучавшегося ранее. Между тем стохастические уравнения потребовали бьг привлечения довольно сложного аппарата, который на уровне знаний студента следовало бы считать существенно новым и ранее не изучавшимся. Включить же в книгу, предназначенную прежде всего в качестве учебного пособия, материал, ранее не прочитанный несколько раз в лекциях для студентов, совершенно невозможно (как понимает каждый, кто когда-либо писал учебник).
Таким образом, предлагаемая в данной книге трактовка краткого курса теории случайных процессов может рассматриваться лишь как один из многих возможных вариантов построения этого курса для студентов естественнонаучных специальностей с математическим образованием: отчасти эта трактовка отвечает хотя бы субъективным взглядам автора, сложившимся на основе опыта каких-то приложений (по большому счету — опыта довольно случайного), а отчасти же определяется вообще малосущественными обстоятельствами.
§ 1. Среднеквадратическая теория
1.1. Основные понятия. В корреляционной теории рассматриваются такие случайные процессы ?<=?(?) чт0
Mlg(7)I2 конечно при любом /еГ Иными словами, s(Y)e eLn, где La — гильбертово пространство случайных величин, суммируемых с квадратом (из сведений об La нам понадобится факт, состоящий в том, что L% полно). Если предположить, что 1(0 непрерывно зависит от t как элемент La, то получается, что случайный процесс есть непрерывная кривая в гильбертовом пространстве. При этом о зависимости X(t)=\(t, ш) от шей можно (в большинстве рассуждений) попросту забыть.
