Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 63

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 161 >> Следующая

Кратко доказанное свойство выражают так: в нормаль-
ном случае из некоррелированности следует независимость.
Пусть случайные величины т|, gi....?п имеют (вместе)
многомерное нормальное распределение. Напишем уравнение регрессии (для простоты обозначений Mr|=IVI?i = ...=M|n = =0):
7J = S Л&+6- (3)
i=i
В этом уравнении случайная величина б не коррелирована с величинами it..... In. следовательно (поскольку рассматри-
вается случай совместного нормального распределения), и не зависит от величин |ь ..., ?п- Распределение б — нормальное, Мб=0 и D6= (1—г2)Drj, где г — множественный коэффициент корреляции.
Так как 6 не зависит от ?1, ..., to условное распределение б при данных ?ь ..., |п совпадает с безусловным. Это означает, что условное распределение т) при данных ?i,.... |п— нормальное с математическим ожиданием 2а,& и дисперсией D6=(l—r2)Dn.
В частности, условное математическое ожидание т) при известных ?|, ...,?п есть линейная функция от ..., ?п. т. е. наилучшая функция, дающая оценку значения т) при известных si, ..., ?п, в случае многомерного нормального распределения вектора (т|, ||, ..., ?„) совпадает с линейной.
15а
В качестве следствия рассмотрим, например, вопрос о том, как узнать по наблюдениям значений (xt, у\), ..., ¦ (хп, уп) случайного вектора (?, ti), имеющего (как предполагается) некоторое двумерное нормальное распределение, зависимы или независимы случайные величины ? и т). Проверяемой гипотезой является гипотеза независимости — теоретический коэффициент корреляции /¦(?, т))—0; мы будем отвергать гипотезу независимости, если_выборочный коэффициент корреляции r=(n—l)-l2(xi—x)(yi—y)/(sxs^y) (где = = (п— 1)_,2(Х(—х)2, sj= (п—у)2) окажется слишком большим. Для определения критического значения гкр (такого, что Р{1г|>гКр}=а, а — уровень значимости) нужно знать распределение г. Получим его почти без вычислений. Записывая уравнение регрессии
т)—Мт)=а(?—М|) +6,
«ли
т)= (Mr)—аМ?) +а?+6=с+а?+6, c=Mri—аМ|,
видим, что при фиксированном ? распределение т) является нормальным со средним с+а? и дисперсией o2=D6, не зависящей от % (вопрос же о том, верно ли, что г(?, т))=0, эквивалентен вопросу, верно ли, что а=0). Поэтому при любых фиксированных значениях xi. ..., хп случайной величины | для значений у и .... уп действует модель
yi=c+axi+6i, 6i~N(0, a),
уже рассмотренная нами в теории метода наименьших квадратов. Поэтому при любых фиксированных х\, ..., хп условное распределение выборочного коэффициента корреляции (при гипотезе а=0) приводится к распределению Стьюдента ?п-2 преобразованием
ta-2 = гVn^lV 1 — г2 .
Но тогда и безусловное распределение вероятностей для •гУп — 21У1 — г* есть *п-2-
2.4. Центральная предельная теорема. Критерий хи-квадрат. Преобразование Фурье функций от п переменных получится, если exp (itx) заменить на exp{{(t* х)) =
• exp jt 2^ |- Таким образом, теория центральной пре-
дельной теоремы переносится (по крайней мере, для одинаково распределенных слагаемых) на случай суммирования векторных величии совершенно автоматически. Сумму Sn = + . . . + ln независимых случайных векторов с
математическими ожиданиями М|4 = а и матрицами ко*
154
вариаций -С5/ = С можно (также и при вырожденной матрице С) преобразовать к виду
*
Sn =
(5„ - па).
Vn
Тогда получится слабая сходимость к многомерному нормальному распределению с нулевым средним и матрицей ковариаций С.
Применим это утверждение к выводу так называемого критерия хи-квадрат. Пусть имеются испытания, каждое из которых может иметь один из m исходов с вероятностями Р\, ¦¦¦, Рт, Р\+ ... + Рт=1. Иначе говоря, результатом t-го испытания является случайный вектор е,- размерности т, одна из компонент которого равна 1, а остальные — нулю. Пусть в результате п независимых испытаний первый исход наблюдался раз, второй раз, ..., m-й исход цт раз. Иначе говоря,
Спрашивается, совместимо ли это с гипотезой, что вероятность i-го исхода равна р,?
Ответ должен базироваться на сравнении частоты уц/п i-го исхода с вероятностью р,; оказывается, что расстояние между векторами {fii/n, ..., цт/я} и (рь .... Рт) можно измерить в такой метрике, что распределение получающейся случайной величины будет (в пределе для достаточно больших л) не зависящим от параметров р\, .... рт и совпадающим с распределением хи-квадрат с (m—1) степенями свободы. Выведем этот знаменитый результат К- Пирсона.
Ориентируясь на центральную предельную теорему, вычислим сначала вектор математических ожиданий и корреляционную матрицу для Ei. Получаем
учитывая, что лишь одна компонента вектора е« может быть отлична от нуля, находим
Эта матрица вырождена, так как сумма компонент вектора е, равна 1. Суть открытия К. Пирсона состоит в том, что следует рассмотреть вектор
81+ — +en={^l, •••> Цт}, Ц1+ ... Цт.=п.
Ме<—(Р\, ..., Рт)’,
Очевидно, что МC = (MCi,. . М?т) = 0. Вектор ? лежит в гиперплоскости = обозначим через L эту ги-
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed