Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 65

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 161 >> Следующая

§ 3. Теорема Колмогорова о продолжении меры
3.1. Введение. Речь идет о том, чтобы с помощью теории продолжения меры сделать то, чего никак нельзя сделать с помощью древнего понятия длины, площади, объема, — ввести (вероятностную) меру в бесконечномерном пространстве. Будем считать, что с мерами в конечномерном пространстве мы уже достаточно освоились. Теоретически запас таких мер у нас, действительно, достаточно велик: любая неотрицательная функция, интеграл от которой по всему пространству равен единице, может, например, выступать как плотность распределения вероятностей. Практически же мы знакомы с небольшим запасом одномерных распределений различных частных видов; с понятием независимости, позволяющим конструировать многомерные распределения из одномерных путем прямого произведения, и с функциями, превращающими независимые случайные величины в зависимые. Так построено, например, многомерное нормальное распределение.
Но у нас пока нет средств для того, чтобы доказать, скажем, что такой объект, как счетная последовательность случайных величин (определенных, естественно, на одном прост-
158
ранстве Я элементарных событий), действительно существует. Например, в центральной предельной теореме, когда речь шла о сумме Sn=?i + - + ?n независимых случайных величин при п—> «>, мы для каждого п можем построить систему из п независимых случайных величин (считая, что Я=Rn, мера — прямое произведение одномерных распределений), но, строго говоря, эти Я различны для различных п. Правда, пока речь идет (как в центральной предельной теореме) лишь о распределениях вероятностей, можно вероятность Р снабдить индексом п: Р„{5^<х}—-Ф(х), а по существу в аналитическом аппарате характеристических функций ничего не изменится. Но вопросы, относящиеся к счетному числу случайных величин (например, сходимость ряда I1 + &+ - + 5л + -и т. п.), мы рассматривать пока не можем.
Напомним в общих чертах теорию продолжения меры. Конструкция счетно-аддитивной меры на о-алгебре 35 подмножеств Я начинается с того, что счетно-аддитивная мера задается на более простой, чем а-алгебра, системе множеств. Достаточно сделать это на полукольце множеств S. т. е. на такой системе, что
1) если и fieS, то y4fl5=.<4fl&S;
2) если y4eS, >4|eS и AidA, то найдутся множества А2, .... i4neS (в конечном числе) такие, что A=Ai+A2+ ... ... +Ап (знак + при объединении множеств означает, что A-,Aj=0, i^j). Например, на прямой удобным полукольцом является множество всех полузамкнутых интервалов вида [а, Ь), а<Ь.
Теорема о продолжении меры утверждает, что счетноаддитивную меру, заданную на полукольце множеств, можно продолжить на некоторую о-алгебру, содержащую это полукольцо.
Но на полукольце S должна быть установлена именно счетная аддитивность (конечной аддитивности мало). Как» например, установить, что длина (по Архимеду) является счетно-аддитивной мерой на полукольце интервалов? Если, допустим, интервал [0, 1) разбит на сумму интервалов [О, 1/2), [1/2, 3/4), [3/4, 7/8).то счетная аддитивность яс-
на: в этом случае лишь у точки 1 происходит накопление интервалов разбиения, а на любом отрезке [0, 1—е], е>0, достаточно воспользоваться конечной аддитивностью, которая со времен Архимеда считается достаточно ясной. Таким образом, единичная длина отрезка [0, 1) представится в виде суммы членов геометрической прогрессии 1/2, 1/4......Но интер-
валы разбиения могут накапливаться не обязательно к точке
1. а, скажем, также и к точке 1/2; далее, можно точки накопления интервалов разбиения заставить накапливаться к какой-то внутренней точке отрезка [0, 1); и точки накопления точек накопления заставить накапливаться куда-нибудь и т.д.
159
Счетное множество — вещь необычайно сложная, и ясно, что хорошо бы иметь простое и несомненное доказательство счетной аддитивности длины на полукольце интервалов.
Такое доказательство состоит в следующем. Ясно, что сумма длин любого конечного числа непересекающихся интервалов, лежащих на интервале [0, 1), не более 1 (эти интервалы покрывают [0, 1) не полностью, а с некоторыми дырками). Следовательно, и сумма длин счетного числа интервалов не превосходит 1, а надо доказать, что она в точности равна 1. Для этого достаточно доказать, что для любого е>0 найдется такое конечное число интервалов, что сумма их длин не меньше чем 1—е. Поступим следующим образом.
Занумеруем наше счетное число интервалов разбиения: получим интервалы [а„, bn), п= 1, 2,.... Интервалы [а„, Ьп) покрывают интервал [0, 1), следовательно, и отрезок [0,1— —е/2]. Рассмотрим чуть расширенные открытые интервалы (ап—е/2'1+|, Ьп), которые также покрывают отрезок [0, 1— —f/2]. Из этих открытых интервалов, покрывающих замкнутый отрезок, выберем конечное покрытие. Сумма длин открытых интервалов этого покрытия не меньше, чем 1—е/2. Но она превосходит сумму длин соответствующих полузамкнутых интервалов не более чем на е/4+е/8+е/16 + ...=е/2. Следовательно, сумма длин этих полузамкнутых интервалов не менее 1—е/2—е/2=1—е, что и требовалось доказать.
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed