Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 74

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 161 >> Следующая

Итак, дадим основное определение. Обобщенным стационарным случайным процессом (в широком смысле) называло
ется отображение ?:<р—*-La пространства S={q>} основных функций в Lq, для которого
«В
М?(Ф) = т J ф(t)dt, т— число;
—«о
М|6<Ф)|* = (Я. ф. 5),
где В — обобщенная функция над S, называемая корреляционным функционалом.
В силу формулы (2) п. 2.1 данного параграфа это определение обобщает понятие обыкновенного стационарного процесса.
§ 3. Спектральное разложение корреляционного функционала
Какие-либо примеры обыкновенных или обобщенных слу-чайных процессов удобнее приводить после того, как будет построена общая теория, состоящая в изучении преобразования Фурье. Начнем с преобразования Фурье корреляционного функционала. Следует иметь в виду одну историческую особенность. Спектральное разложение стационарного случайного процесса, эквивалентное его преобразованию Фурье, было впервые выведено А. Н. Колмогоровым как частный случай так называемой «теоремы Стоуна» о спектральном разложении однопараметрической группы унитарных операторов. При этом прямое и обратное преобразования Фурье оказались переставленными. Чтобы не нарушать общепринятых обозначений, будем заниматься обратным преобразованием Фурье корреляционного фукционала и самого стационарного процесса. Сами эти объекты окажутся прямыми преобразованиями Фурье их обратных преобразований.
Напомним, что преобразованием Фурье функционала F=\F(<p), определенного на некотором пространстве основных функций {гс}, называется функционал F, определенный на пространстве {ф} преобразований Фурье основных функций Ф формулой
{?, <p)*=2i:(f, ф).
Следовательно, обратным преобразованием Фурье функционала F называется функционал F, определяемый соотношением
(?. ф) = (F, Ф).
181
где ф — обратное преобразование Фурье функции ф.
В случае, когда {ф}=5, где 5 — множество гладких быстро убывающих функций (переменного <)> множества {ф} и {ф} также состоят из гладких быстро убывающих функций (другого переменного К), так как при преобразовании Фурье умножение на степень аргумента переходит в дифференцирование и наоборот. Кратко это выражают формулой S=S=S, но надо не забывать о том, что функции из этих пространств зависят от различных аргументов.
Нетрудно проверить непосредственно, исходя из определения свертки ф»\|> двух основных функций, что
- -
Ф* ф(Х) = 2* ф (X) ф (X).
Поскольку для функции ф(Х)=ф{—0 имеем, очевидно,
Ф(Х)=-Ф(Х) ,
имеем следующее важное для нас соотношение:
<р» Ф (Х)-2*|ф(Х)|*. (1)
Пусть F(A) — неотрицательная счетно-аддитивная функция множества (определенная на ограниченных подмножествах А прямой (—оо, оо)), такая, что для некоторого k^O
ер
I
(2)
1-ЫМ*
Тогда F называется мерой степенного роста. Мера степенного роста, очевидно, задает функционал на пространстве S по формуле
^) = (Л *)- J <№)№).
—ео
Теорема. Пусть В — корреляционный функционал обобщенного стационарного случайного процесса. Тогда
B=F,
где F — мера степенного роста.
Эта теорема называется теоремой о спектральном разложении корреляционного функционала. Она означает, что
182
я(ф)=(Д. ф)=2*(?, ф) =
-2« J ^)F(dl), (3)
—о»
ее
где ф(Х)= j* е~иж(р (t)dt.
—ер
Доказательство. Поскольку для любой функции Ф eS
О < М16(ф)|* = {В, <р • ф) - 2* (в, 2* |ф|2) =
= 4**(?, |ф)2),
то получаем важное свойство положительности функционала!?: (я, |ф|2)>0. Отсюда и выведем, что В — не что иное, как счетно-аддитивная мера (на ограниченных подмножествах прямой), а затем оценим ее рост на бесконечности.
Прежде всего нужно доказать, что (В, ф)^0 для любой финитной неотрицательной функции ф^5. Конечно, ф=
=(V ф) , но V' q> не обязательно входит в 5, так как в тех точках X, в которых ф(А,)=0, может при извлечении корня нарушиться гладкость. Поэтому для данной финитной ф(А,)^0 образуем последовательность функций
*»(*)« ^ Ф(> )+ !/««<*), я - 1, 2..............
где <x(A,)eS, а(Ь) равна 1 при тех К, для которых ф(А,)^0 и сс(Х) финитна. При этом
в смысле сходимости в S. Но функционал В непрерывен на S, а тогда В непрерывен на 5 и, следовательно,
(В. ф) = lim {В, №„(Х)|*)>0, ф>0. (4)
«—>оо
Теперь продолжим функционал В на непрерывные финитные функции. Пусть последовательность \рп(\) функций из 5 равномерно сходится к непрерывной финитной функции Имеем для любого *>0 при п\, пг^п—п (е)
183
Предыдущая << 1 .. 68 69 70 71 72 73 < 74 > 75 76 77 78 79 80 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed