Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Тутубалин В.Н. -> "Теория вероятностей и случайных процессов" -> 70

Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.

Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов — М.: МГУ, 1992. — 400 c.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка): teoriyaveroyatnosteyisluchaynihprocessov1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 161 >> Следующая

Как и для конечного числа случайных величин, в корреляционной теории случайных процессов вводятся в рассмотрение лишь «моменты первого и второго порядка», т. е. математическое ожидание
m(t)=m(t), te=T, (1)
и так называемая корреляционная функция B(s, t) случайного процесса %(t). По определению,
B(s, t)=Nll(s)%(t) при этом B(s, t)=B(t, s), (2)
где черта сверху обозначает комплексное сопряжение. (Мы в конце концов собираемся решать дифференциальные уравнения, в которые входят случайные процессы. Известно, что в
169
случае обычных детерминированных функций при решении дифференциальных уравнений весьма полезно рассматривать функции с вещественным аргументом t, но с комплексными значениями. Соответственно и мы не можем ограничиться случайными процессами лишь с вещественными значениями.)
Подчеркнем, что в определении (2) корреляционной функции входит именно М|(s)\(t), а не ковариация M(?(s)— —m(s)) X (КО—m(f)) и не коэффициент корреляции. Часто в приложениях считается, что неслучайную функцию m(t) = =М|(t) можно каким-то образом определить и вычесть, т. е. положить m(f)=0. Однако (например, при решении уравнений движения) мы постоянно переходим от одних случайных процессов к другим, в том числе различными нелинейными преобразованиями. Если Mg('/)=0, то, например, М^С*)]2^ ?=0, так что возможность ненулевого математического ожидания случайного процесса нужно учитывать.
Замечание 1. Над чем ставить комплексное сопряжение в (2) — над |(s) или над \(t) — в принципе совершенно все равно, но только нужно выбрать какой-то определенный способ и всегда его держаться, иначе будет путаница в формулах.
Замечание 2. Если случайный процесс \(t) принимает комплексные значения: + то с точки
зрения корреляционной теории полной его характеристикой (кроме математического ожидания) является система трех функций: Hib(s)h(t), M.l2(s)l2(t) и МЬ(*)Ь(0- В понятие корреляционной функции (2) входит некоторая комбинация этих трех функций. Поэтому задание двух функций — вещественной и мнимой части B(s, t) — не определяет полного набора корреляционных характеристик случайного процесса ?(7). Мы будем рассматривать лишь такие вопросы, для решения которых достаточно знания B(s, t), но не нужно забывать. что если бы мы, например, пожелали рассмотреть комплексный гауссовский случайный процесс (т. е. такой, для которого все конечномерные распределения — нормальные), то нам бы не хватило B(s, t) для задания распределений (ср. с рассматриваемым ниже вещественным случаем).
Выведем одну простую формулу исчисления. Вычис*
,2 " лим квадрат нормы в La линейной комбинации 2 ск?(**)»
*=i
где с„ — числа (вообще говоря, комплексные). Имеем
М
2
*-1
J70
= 2
k.t—l
(3)
Таким образом, функция B(s, t) обладает тем свойством, что при любых tx, ..., tn эрмитова матрица 115(7*, ti)II, к, /=1,...,п, неотрицательно определена. Такая функция B(s, t) называется положительно определенной.
Так как B(s, t) есть скалярное произведение (|(s), ?(<)) в пространстве In, а зависимость %(t) от t предположена непрерывной (в смысле La), то функция B(s, t) непрерывна по совокупности переменных s и t. Обратно, если B(s, t) = = Ml(s)%(t) и функция B(s, t) непрерывна по совокупности переменных s и /, то зависимость \(t) от t непрерывна. Действительно, по формуле (3) получаем
М!!(М-ДО—W)\2=B(t+ М, t + Al)—B(t+At, t)— -B(t, t+M) + B(t, t),
что стремится к нулю при Дt—>О.
Так как
| m(t + bt) — m(t) | = \mt + to) - M|(f) | <
<М|^ + Д0-5(01<К M\Ut + bt)-l(t)f» ,
то и функция m(t) обязана быть непрерывной.
В вещественном случае матрица ковариаций случайных величин \(t\), .... |(tn) при каких-то tu ..., t„^T имеет вид
C(t>...tn)=llcov(%(ti), 11= IIВ(titj)—m(ti)m(t,)II.
Если имеются непрерывные функции B(s, t) и m(t), связанные так, что при любых tu .... tn^T матрица C(t\, .... tn) была неотрицательно определенной, то каждому набору ..........
...Jn^T отвечает некоторое многомерное нормальное (гауссовское) распределение с вектором средних (m(tx).....m(tn))
и матрицей ковариаций C(t\, ..., tn). Взяв эти распределения в качестве конечномерных распределений случайного процесса (они. очевидно, согласованы), получим, что функциям B(s,t) и m(t) отвечает гауссовский случайный процесс с данными конечномерными распределениями. Мы, таким образом, можем быть спокойны в том смысле, что объект корреляционной теории — случайный процесс с данными m(t) и B(s, t) — действительно существует. Гауссовский процесс (вещественный) еще и однозначно определяется по m(t) и B(s, t).
1.2. Аналитические операции. Рассмотрим дифференциро-зание и интегрирование случайных процессов. Смысл введе-
171
ния этих операций заключается в следующем. Описывая какую-то динамическую систему дифференциальным уравнением, мы обычно не доказываем в рамках математического доказательства, что некое дифференциальное уравнение действительно описывает процесс, а приводим какие-то правдоподобные соображения, из которых дифференциальное уравнение возникает затем в статусе математического определения, Эти правдоподобные соображения, как правило, не станут хуже, если предположить, что на рассматриваемую систему влияют не детерминированные, а случайные процессы. Единственное, о чем следует договориться, — это как понимать производные (или интегралы) от случайных процессов. Можно понимать дифференцирование (интегрирование) |(О — =%(t, ю) как дифференцирование (интегрирование) по t при фиксированном со. Но, испортив функции ?(/, со) при каждом отдельном t с вероятностью 0 (что не влияет на конечномерные распределения), можем превратить их на любом отрезке значений t в недифференцируемые (а если очень постараться, то в неинтегрируемые). Поэтому ясно, что такое понимание аналитических операций над случайными процессами связано с теоретико-множественными затруднениями. Между тем в среднеквадратичной теории возможен совершенно элементарный подход, который мы и изложим.
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 161 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed