Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичным путем рассмотрим следующий вопрос теории вероятностей: пусть дана функция F(x), монотонная по х и непрерывная слева, причем F(—оо)=0, F( + oo) = l. Как доказать, что эта функция определяет на прямой счетно-аддитивную вероятностную меру?
Положим для интервала [а, Ь), а<Ь,
ц{[а, b)}=F(b)-F(a).
Тогда на полукольце интервалов 5 определится конечно-аддитивная мера. Для доказательства счетной аддитивности нужно заменить интервалы [а„. Ьп) на открытые интервалы (а„—гп,Ьп), такие, что \F(an—е„)— F(an)\ = F(an)— —F(an—en)^e/2n+1, что возможно в силу непрерывности F(x) слева. Меру всей прямой нужно определить дополнительно как
lim [F(.x:„) — /=¦(— лгя)] = 1. (1)
Таким образом, на интервалах определяется счетно-аддитивная мера.
Теория продолжения меры утверждает, что с помощью некоторой конструкции счетно-аддитивную меру, заданную на
5, можно продолжить на некоторое о-кольцо множеств. Если речь идет о подмножествах множества Q, причем само ?2
|60
измеримо (как в случае, когда действует определение (1)), то указанное о-кольцо содержит Й, т. е. является о-алгеброй (в случае длины это не так: длина всей прямой бесконечна). Ссылаясь на теорию продолжения меры, видим, что монотонная непрерывная слева функция задает меру на некоторой
о-алгебре подмножеств прямой, содержащей S (т. е. все интервалы). Следовательно, эта мера определена, в частности, на наименьшей о-алгебре, содержащей S, т. е. на всех боре-левских множествах.
Нечто аналогичное будем делать и в бесконечномерном случае: доказывать счетную аддитивность меры на некоторой алгебре множеств (конечно, всякая алгебра является полукольцом) и использовать теорию продолжения меры.
3.2. Конечномерные распределения случайного процесса. Случайным процессом называется функция | (t, ш) двух переменных t, о. Часто переменная t понимается как время; в этом случае множество T={t} значений переменной t есть обычно интервал прямой либо вся прямая (либо множество целых точек 0, ± 1, ±2,..., или только неотрицательных целых точек 0, 1, 2,...; в этих случаях говорят, что время дискретно). Но для последующих рассуждений природа множества Т совершенно не важна. Может быть, например, что T=R3 есть евклидово пространство, причем |(f, ш) есть случайная величина — давление среды в точке f; в этом случае говорят о случайном поле давления. В качестве t может выступать точка многообразия, скажем, сферы, и тогда говорят о случайном поле на сфере. В общем, Т — произвольное множество, и лишь для наглядности будем говорить о нем, как о множестве моментов времени.
При каждом фиксированном t^T значение |(/, ш) должно (как функция от ш) быть случайной величиной, т. е. функцией шей, где Й — вероятностное пространство (наделенное, как всегда, о-алгеброй 95 и вероятностной мерой Р). Существование такого Й, на котором можно рассматривать континуум случайных величин | (t, ш), нам как раз и неясно н устанавливается теоремой Колмогорова. Но пока предположим, что такое Й существует, и рассмотрим некоторые общие понятия, которые при этом возникают.
Объявить, что точно наблюдаемой является функция g(f, со) как функция t при каждом ю, мы не решимся. Но скажем, что для каждого конечного набора tu /2. ..., tn значений t являются точно наблюдаемыми случайные величины 5(*ь ш), ..., l(fn, ш). На математическом языке это означает, что для любого борелевского 5=/?" можно говорить о вероятности
Р<г...'п(В) = Р{ш: {g(fIt ш),..., Uta, «)> е= В). (I)
11-2567 161
Вероятностная мера Р»,...*„ определена на борелевских подмножествах Вczii". Она называется конечномерным распре-делением случайного процесса = ю) (отвечающим набору моментов времени , tn). Посмотрим, каким
условиям должны удовлетворять конечномерные распределения по смыслу определения (1). Эти условия носят название условий согласованности.
Пусть 5 — перестановка п символов. Эту перестановку можно заставить действовать на л-мерных наборах t— = {t\, /п) - положим
st= (t$\, ..., tfп)>
где si.... sn) — тот набор, в который перестановка s переводит набор (1, п). Можно заставить s действовать и на
R", положив для х=(хх, .... xn)^Rn
sx=(x,b ..., х,п).
Событие, стоящее под знаком вероятности Р в (1), есть некоторое условие, наложенное иа значения случайных величин I, — ?(*1» и),& ¦“?(*„. <»)• Например, в частном случае В =» X . . . X Вп это событие можно пере-писать в виде
ЬпеВп).
Ничего не изменится, если моменты t\, ..., tn и события В\, .... Вп в (2) переставим одной н той же перестановкой. Но, очевидно,
s (5,Х... X В„) =5si X... X 5,„.
Таким образом, совпадают события
{<¦>:(?,,,. . ., SfJeS.x. . .ХВп} =
= (»:№/„,. . .. Ь Jeflslx. . .XBsn).
Следовательно, равны и их вероятности. Иными словами, должно выполняться следующее условие:
