Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
Получаем спектральное разложение вида
$(/)= J еш Z(dl) = = |] п (e1(V+’y> + e_i<V+’/>) =
—во /=1
192
= У 2 r> cos (У + фу) = 2 Ricos № + фЛ. RJ = 2ry (4) /-1 /=i
Итак, мы получили сумму гармонических колебаний со слу-чайными амплитудами и фазами.
Нетрудно найти корреляционную функцию случайного процесса (4). Действительно, F(A)=Ni\Z(A)\2 есть мера, сосредоточенная в точках ±А,ь ..., ±Я,П> причем
F( ± Ц = М \Z( ± I,) \* = fArj= -j- МЛ/. Следовательно,
B(t)-m(s)l(s + t)= ] ешF(d/.) =
h
7=T
Иными словами, корреляционная функция есть сумма гар-монических колебаний. Мы описали некоторую модель случайных вибраций.
Однако модель (4) имеет следующее парадоксальное свойство. Реализации случайного процесса \(t) как функции t являются аналитическими функциями. Поэтому, наблюдая реализацию \(t) в течение сколь угодно малого промежутка времени, мы можем точно определить эти аналитические функции для всех остальных значений t, в частности для каждой реализации точно определить Rj, А,/, <р/. (Этому соответствует и тот факт, что при t—> «> корреляционная функция B(t) не стремится к нулю: между сколь угодно далекими по времени значениями процесса присутствует связь.) Ясно, что в практическом отношении такой вывод неразумен. Не следует догматизировать абстракцию точной наблюдаемости значений \(t).
5.2. Винеровский процесс и белый шум. Как известно, броуновским движением называется наблюдаемое под микроскопом движение мелких частиц (размером порядка 1 мкм и несколько менее), взвешенных в жидкости. Построим его математическую модель. Пусть w(t) — абсцисса движущейся точки в момент t, 0; для простоты ш(0) =0. Броуновская частица ведет себя столь нерегулярно, что для любых значений fi<4< ... <f« приращения процесса w(t), т. е. разности
13-2567
193
w(tl)—w(0)=w(ti), w(t2)—w(t\)......w(t„)—(1)
естественно считать независимыми случайными величинами. Предположим дополнительно, что распределение любой из разностей w(ti+l)—w(ti) нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией a2(ti+x—ti), где о — некоторый параметр. Этим предположением задается совместное распределение разностей (1): как распределение независимых случайных величин. Следовательно, задается и распределение величин
w(h), w(t2), .... w(tn)
как функций от величин (1), т. е. конечномерное распределение процесса w(t) (очевидно, получаем набор согласованных распределений). Случайный процесс с такими конечномерными распределениями называется винеровским процессом (по имени американского ученого Н. Винера). Конечно, как модель физического броуновского движения он условен (позже познакомимся с более точной моделью) и действует при не слишком малых разностях /,-+|—t,. Принимая эту модель для любых разностей, мы должны быть готовы получить удивительные выводы.
Например, докажем теорему, состоящую в том, что по наблюдениям w(t) на сколь угодно малом интервале [О, Т\ можно точно определить а*. Действительно, положим т
= — i, < « 0, составим выражение
п
«¦=. 2 (»((,+,)-»(/,))-'. (2>
/-о
В силу определения винеровского процесса
MS*- ?К-.-*0-0‘г-i-0
/1—1
Подсчитаем DS* = 2 !>{(“'( */+.) — ш(//))2}. Для нормаль-
/—О
ной случайной величины ? с параметрами Щ = 0 и D? = = о* имеем D{?*} = M?* — (М?*)* = 2а*. Поэтому
DS* - 2* S(<w-«,)•-
/—1
= 2а* п • j* — 2а* Tin,
194
что стремится к нулю при п—> «>. Итак, в силу неравенства Чебышева получаем, что при п—»-оо S2—> о27’ по вероятности. Казалось бы, что для точного определения о2 нужно только составлять выражение (2) для все больших п, но понятно, что практически это не может иметь смысла как по причине неточных наблюдений w(t), так и по причине неполного соответствия модели винеровского процесса реальному процессу броуновского движения.
Но как математический объект винеровский процесс очень интересен. После некоторой борьбы с теоретико-множественными трудностями оказывается, что его реализации непрерывны, но нигде не дифференцируемы. С его помощью строятся так называемые стохастические уравнения (к сожалению, не вошедшие в данную книгу), которые являются новым математическим средством, например, для изучения задач уравнений с частными производными с помощью теории вероятностей (т. е. методами теории меры). Ограничимся тем, что построим с помощью винеровского процесса (существующего в силу теоремы Колмогорова о продолжении меры) случайную меру с ортогональными значениями.
Выпустим из точки ш(0)=0 две независимые реализации винеровского процесса w\(t) и w2(t), t^Q. На оси значений Д.: —оо<Я,<оо введем функцию Z(X) по следующему правилу: Z(0) =0, для Я>0 положим Z(X)—wi{k), а для Я<0 положим Z(X)=—w2(—А.) =—а>2(1я1) (можно с тем же успехом положить и Z(A,)=a>2(lA.I)). Для отрезка [Яи Я2], А,1<Я2, положим
