Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
4.1. Ортогональные случайные меры. Пусть каждому ограниченному борелевскому множеству Лс(—оо, оо) поставлена в соответствие случайная величина 2(А)^Ьга, причем выполняются свойства:
00
1)Z(At + А, + • •.) = 2 zMi) с вероятностью 1 (ряд
/=1
сходится в La, если множество 4» + Аг + . . . ограничено);
2) fA{Z(A)Z(B))=0, если АВ = 0. Тогда Z(A) называется случайной мерой с ортогональными значениями. Положим
т. е. F является мерой (с неслучайными значениями), определенной на ограниченных борелевских множествах.
00
Введем интеграл Лебега f <p(X) Z(dX). Пусть сначала
—00
#)В2*|Л W. где At — непересекающиеся ограничен-
ные борелевские множества. Положим по определению
Чтобы правая часть (1) существовала как элемент Li, должно выполняться соотношение
F(A)=mZ(A)\2.
В силу свойств 1) и 2) имеем
F(At + АЛ + . . . ) = М | Z(AX + А* + . . .)|* =
= М12 Z(A,)I* = 2 mAOZlAj) =
I / I i. /
«=2 м|ад)|*= 2^М<).
i i
(1)
м 12 «1 Z(A<) * - M 2 a, Z(Ai) Z(Aj) =
\ i i.i
187
= '2\al\tF(A,) = J |q>(X)|aW = lMI’
i —00
<
где через ЦфЦ^ обозначен квадрат нормы функции ф(Х) в пространстве Ly— пространстве функций, суммируемых с квадратом по мере F. Предположим, что ||<p||f<oo. Проведенные выкладки доказывают, что
М
] Ф(Х) Z(dX)
=Ml
(2)
Конечно, необходимо проверить, что определение интеграла (1) не зависит от способа представления <р(Х) в виде ф(Х) = 2в,7^(X). Это делается обычным приемом, когда от двух представлений
ф(>.)-2«|/Л.М- SMs.M
переходим к третьему представлению с помощью индикаторов множеств Л/В/. При этом используются счетная аддитивность меры Z и тот факт, что при суммировании каких-то счетных выражений, составленных из ортогональных векторов гильбертова пространства, можно выделить конечное число членов так, чтобы норма суммы всех остальных была сколь угодно мала (следовательно, допустим любой порядок суммирования).
Поскольку отображение (1) оказывается в силу (2) изометрическим линейным отображением Ly-*L%, оно продолжается предельным переходом на все LРезультат и
оо
понимается как определение интеграла J ф(Х)?(<&) для
—оо
любого ф е I?F.
Замечание. Существование такого объекта, как ортогональная случайная мера, не очевидно. Вместо того чтобы приводить сейчас примеры ортогональных случайных мер построим в общем виде этот объект как (обратное) преобразование Фурье стационарного случайного процесса.
4.2. Спектральное разложение обобщенного стационарного случайного процесса.
Теорема. Обратное преобразование Фурье обобщенно» го стационарного процесса есть случайная ортогональная мера Z, такая, что Nl[Z(A) |2= F(i4), где /•'(Л) — неслучайная спектральная мера.
188
Это означает, что значение процесса |(ф) может быть задано следующим образом:
?(ф) = (I, Ф) - 2« (Z. ф) = 2* ] to) ЩЩ; (1)
—00
где Z — комплексно-сопряженная к Z мера.
Доказательство. Если формула (1) верна, то значение Z(A) = Z(A) можно получить, применяя g к такой функции ф, что ф = /д/2к. Трудность, которую надо преодолеть, заключается в том, что функция ф & S, следовательно, ф§ё5, и возможность применения § к ф нужно обосновать путем предельного перехода. В силу теоремы о спектральном разложении корреляционного функционала для ф?<$ имеем
М|ё(ф)|* = (*, ф* ф) = 2-(*\|?|2| =
= 2я J |ф(Х)|*F(dk). (2)
—00
Соотношение (2) означает, что |||(ф)|о = 2* ||ф||*. Следовательно, если<ря-»-ф в L2F, то |(ф„) сходится в Ь2а. Положим |(ф)= Пш|(фп) и продолжим таким способом функ* ционал g на все такие ф, что ф'е Z.*, в частности на танин ф, что ф — индикаторы 1Л ограниченных борелевских множеств. После этого положим
2M) = gfo), Ф = /а/2*.
В силу справедливости соотношения (2) для норм выполняется следующее соотношение для скалярных произведений:
М5(Ф)1ЙГ) = 2* J —00
из которого следует, что если <р *¦ 1А% $ = /в, ДВ«=0, то
№(А)Щ) = мЩ)2(В) = 0.
Свойство же Z(Ai)-{-Z(A2)-b ... ^Z(j4i+A2+,..) есть просто свойство линейности функционала ?.
Осталось доказать формулу (1). Но левая и правая части этой формулы линейны по ф и ф и (1) выполняется
189
(по определениюZ(A)) для <p, таких, что q> =Ia. Следовательно, эта формула справедлива для <p = ^.ct/Al(^), тогда предельным переходом получаем, что она верна
для любых ф ей, в частности для <f^S, т. е. для ф=5. При этом имеем
