Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
М |Z(^) |* = М |5(ф)|* =
= 4«»||7a|2k||2f = ||/a^ = FH).
Теорема доказана.
Рассмотрим случай обыкновенного процесса ?(<). В этом случае
ОО
1(ф)= j Фе5, (3)
— оо
мера F((— оо, оо)) конечна, а следовательно, любые ограниченные функции от к (в частности, eltx ) входят в Lf. В силу (1) имеем для фе5
оо / оо Ч
!(ф) = 2- j Z(dl) I j е-',Хф(ОЛ ) =
—00 \ —00 /
= J ^ J e~“xZ(d\) j (р(0 dt (4)
(перестановка порядка интегрирования обосновывается сначала в конечных пределах по t и А, путем приближения функции е-,дф(t) ступенчатыми функциями; затем используется тот факт, что e_i<\p(/)eZ.2 относительно произведения меры F на лебегову меру).
Сравнивая (3) и (4), находим, что
«в
но- J
emZ(d>.). (5)
Формула (1) для обобщенного процесса и формула (5) для обыкновенного процесса называются спектральным разложением стационарного случайного процесса.
Замечание 1. В типичном случае существования спектральной плотности имеем
М \Z(A)\* = F(A) = |7(/.)d)..
л
190
Если А — отрезок длины Д, то M|Z(j4)|* по порядку величины есть Л; тогда Z(A) имеет порядок величины VЬ, так что никакая „случайная спектральная плотность" невозможна: Z[A)\b имеет величину 1||/Д—>оо при А-»0.
Иными словами, если рассмотреть, например, функцию Z(k)=Z{[0, А)}, то эта функция (как функция от X) не будет функцией ограниченной вариации. Возможность определения интеграла по случайной мере связана не с ограниченностью вариации, а с ортогональностью приращений функции Z(k). Таким образом, записать интеграл типа (5) в каком-то виде, напоминающем интеграл Римана (по мере dX), нельзя.
Замечание 2. Случай вещественного случайного процесса l(t) = l(t) выделяется в формуле (5) условием
Z(A)= Z{-А),
в частности, Z({0}) вещественно. Можно превратить (5) в вещественное выражение, связанное (вместо eiiX и Z(A)) с косинусами, синусами и двумя взаимно некоррелированными ортогональными мерами, но мы не будем этим заниматься.
В наших обозначениях корреляционная функция вещественного процесса есть преобразование Фурье от спектральной плотности f(X), которая определена при —oo</.<oo и является четной функцией: f(X) =f{—А,). Часто рассматривается спектральная плотность f+(X)=2f(k) для А,>0, не определяемая при КО. Для перехода к нашим обозначениям нужно f+(k) разделить пополам и продолжить четным образом для \<0. При этом, однако, f(0)=/+(0) (значение в точке нуль не удваивается), что обычно несущественно.
§ 5. Применения спектральной теории
5.1. Случайные колебания с дискретным спектром. Модели случайных процессов, правдоподобно отражая одни черты какого-то явления, часто являются бессмысленными в других отношениях. Следует это понимать и не напрягать модель выше пределов ее возможностей.
Рассмотрим для начала модель суммы случайных периодических колебаний. Пусть, для наглядности, на некотором перекрытии установлено несколько станков, вращающиеся части которых создают периодические дисбалансы, а нас интересует суммарная нагрузка на перекрытие. Попробуем изобразить ее моделью стационарного случайного процесса.
В спектральном разложении случайного процесса его математическое ожидание a—h\%(t), очевидно, дает неслучайный вклад в спектральную меру Z, равный аб(А,) (где б (А,) —
191
дельта-функция, т. е. мера, равная 1 и сосредоточенная в точке А,=0). Отсюда вытекает, что мера Z'(A)=Z(A)— —аб(А) не зависит от а. Иными словами, для любого А, не содержащего точки А.=0, имеем
tAZ(A)=0. (1)
Итак, постоянную во времени составляющую (в нашем примере суммарный вес всех станков) можно включить в Z либо вычесть из |(0- Будем для простоты обозначений считать, что М?(/) = 0. Каждый станок создает (в нашей модели) колебания на некоторых частотах (X у нас — круговая частота). Объединение всех частот колебаний по всем станкам обозначим {)>!.........Эти ча-
стоты будем считать неслучайными, а амплитуды колебаний аь <*„ . . , ая — случайными. В модели стационарного случайного процесса возникает мера Z, причем в комплексной записи мера Z помещается в точках Хь . . . , Х„
и в точках (— Xt).......(— Хп) так, чтобы Z(A) = Z(— А), а
мера Z была ортогональной: МZ (A)Z(B) = О, АВ — 0.
Пусть Z(Xy) = Zj = г,ev>, тогда Z(—lj) = Zj = rje~lVl. Ортогональности меры Z проще всего добиться, считая г/ при разных / независимыми, но в точке X; и точке (— hj) должно соблюдаться соотношение
MZ(Xj)Z(-X/) = M[Z(>V)]* = Mr? eiv> = 0. (2)
Кроме того,
MZ(X;) = Mr;- = 0. (3)
Соотношения (2) и (3) проще всего удовлетворить, считая г/ и ф/ независимыми, а величины ф/ — равномерно распределенными на единичной окружности. В этих предположениях есть разумный физический смысл — ведь фаза колебания Ф/ связана с моментом включения /-го станка и ее естественно считать равномерно распределенной на окружности (правда, ф/ и фй при могут относиться в нашей модели к одному станку, так что их независимость — а тем более независимость амплитуд тj и г* — достаточно проблематична).
