Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
5.4.2. Оценка корреляционной функции. Если случайный процесс 1(0 (пусть для простоты вещественный) нам интуитивно представляется стационарным эргодическим (в смысле независимости будущего от прошлого), то многие функции от него,напримерrj(Л t+u) =l(t)%(t+u), тоже будут стационарными эргодическнми процессами (;« фиксировано, t меняется). Следовательно, можно по реализации процесса r\(t, t+u) оценивать математическое ожидание
Mn(f, t+u)=fM(t)l(t+u)=B(u),
где В(и) — корреляционная функция процесса 1(0- Правда, по наблюдениям процесса 1(0 на отрезке мы смо-
жем (при ы>0) составить значения процесса r\(t,J+u) лишь на отрезке O^t^T—и. Соответственно оценкой В г (и) функции В(и) будет
На какие теоретические функции В (и) мы ориентируемся? Если, например, отправляться от белого шума, спектральная плотность которого есть константа, и рассматривать согласно п. 5.3 решения дифференциальных уравнений, в правую часть которых входят сначала белый шум, а потом и другие процессы, получаемые из белого шума, то мы придем к классу процессов со спектральными плотностями вида |P(iJl)/Q(tX) |2, где Р и Q — многочлены с какими-то (постоянными) коэффициентами. Такие спектральные плотности называются рациональными, хотя на самом деле они представляют собой квадраты модулей рациональных выражений. Ввиду равенства
т)
— —, X — вещественно, (2)
<к<х) I <?(Л)ё(-Л)
где коэффициенты многочленов Р и Q комплексно сопряжены соответственно коэффициентам многочленов Р и Q, эти спектральные плотности, рассматриваемые на вещественной оси /гпЯ = 0, в самом деле являются значениями на этой оси рациональных функций переменного К (теперь будем рассматривать и комплексные значения X). Соответствующая корреляционная функция
00
j
*
d\
может быть, в силу (2), вычислена с помощью вычетов.
„ /и*.*
В результате получится сумма слагаемых вида аке (или чуть более сложных), т. е. корреляционная функция В(и) будет суммой гармоник с убывающими при и -* оо амплитудами (Хк — комплексные).
Ожидаем, что оценка Вт(и) при достаточно большом Т ведет себя похожим образом. Но существенное практическое осложнение состоит в том, что при различных щ и щ, оценки Вт(щ) и Вт(и2) зависимы (как случайные величины). В результате на графике Вт(и) как функции и (этот график называется коррелограммом) видны обычно волны, но неизвестно, с чем эти волны связаны: то ли с тем, что истинная корреляционная функция В(и) ведет себя похожим образом, то лн они являются артефактом, связанным с недостаточно большим отрезком времени наблюдений Т. Конечно, вычисление Вт(и) по другой реализации процесса позволило бы это понять, но не всегда есть возможность наблюдать другую реализацию.
202
В общем, обманчивость коррслограмма настолько не нравится статистикам, что обычно предпочитают оценивать не корреляционную функцию, а спектральную плотность.
5.4.3. Оценка спектральной плотности. Математики оценивают спектральную плотность, превращая наблюдаемый процесс |(f) в процесс с дискретным временем, т. е. беря его з точках th=kh, k=0, ±1, ±2........ где шаг дискретиза-
ции Н достаточно мал, и обрабатывая значения |(М на ЭВМ с помощью так называемого «быстрого преобразования Фурье». Мы эту науку рассматривать не будем (с ней можно познакомиться, например, по [4]). Физики и инженеры оценивают спектры путем пропускания наблюдаемого процесса \(t) через систему фильтров. Выведем формулу, позволяющую оценить разброс получающихся оценок спектральной плотности (при замене одной реализации процесса другой). Смысл этой формулы состоит в том, что она в принципе позволяет понять, сопоставляя результаты определений спектральной плотности по ряду реализаций одного и того же процесса, — имеем ли мы дело, действительно, с ансамблем реализаций стационарного процесса или с чем-то более сложным.
Фильтром называется линейный оператор, превращающий одну функцию времени x(t) в другую y(t) (нелинейный оператор называется нелинейным фильтром). Имея в виду преобразование реализаций стационарного процесса с целью оценки спектральной плотности, вполне достаточно ограничиться интегральными операторами с ядром K=K(t, s) = = K(t—s), зависящим от разности t—s. Это означает, что
Чтобы интеграл (1) сходился, нужно потребовать какого-либо убывания функции K(t—s) при 11—s|-»-oo и (или) как-то ограничить функцию x(s). Например, если y(t) и x(t) связаны дифференциальным уравнением
где Р — многочлен с постоянными коэффициентами, причем этот многочлен устойчив (корни имеют отрицательные вещественные части), то, как известно, решение (2) y(t) можно получить по формуле (1), причем K(t—s)= О при s^t и K(t—s) убывает экспоненциально быстро при f—s—><». (Такой фильтр, для которого K(t—s)=0 при s>f, т. е. интеграл (1) превращается в интеграл в пределах от —оо до
У(*)=- J K(t — s)x(s)ds.
(О
2(W
t, называется физически осуществимым: значение y(t) не зависит от х(s) при будущих значениях s^t. Нам нет необхо* димости ограничиваться физически осуществимыми фильтрами: траекторию случайного процесса можно сначала записать, а потом анализировать.) Понятно* что практически интеграл (1) заменяется интегралом в конечных пределах.
