Теория вероятностей и случайных процессов - Тутубалин В.Н.
ISBN 5-211-02264-5
Скачать (прямая ссылка):
щт\*= ] м>)1 гт),
— 00
M^*(H-s)= J еШ|Ф(Х)|*F(dX). (6)
—00
Из (6) следует, что если f(k) — спектральная плотность процесса \(t), то спектральная плотность решения (3) есть
1ф(я.)1ТО.
Частное решение (3) уравнения (2) должно быть дополнено решением однородного уравнения. Если уравнение (2) устойчиво (корни многочлена />(А,)=0 имеют отрицатель-
198
яые вещественные части), то решение однородного уравнения при t—*-оо убывает, и остается лишь решение (3). Говорят. что решение выходит на стационарный режим. Таким образом, возмущение устойчивой системы стационарным процессом \(t), стоящим в правой части (2), приводит к возникновению стационарного режима. Это не мешает тому, что решение (3) в какие-то моменты времени принимает большие по модулю значения, но при каждом данном t это мало вероятно (в силу неравенства Чебышева). Большие значения реализуются за очень большое время. Учет нелинейности (или дополнительной диссипации энергии при больших x(t)) приводит к тому, что большие значения решения не реализуются никогда.
При неустойчивом уравнении (2) рост решения будет определяться главным образом растущим по экспоненте решением однородного уравнения. Добавка случайного процесса
(3) может оказаться практически несущественной.
Аналогично рассматривается система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и со случайными возмущениями в правых частях.
5.4. Статистические вопросы, связанные со стационарными случайными процессами.
5.4.1. Оценка среднего значения. Оценку среднего значения a = M&{t) естественно производить с помощью вре-
, т
менного среднего gr=— Посмотрим, возможно
о
ли это.
Используя спектральное разложение процесса ?(/), получим
г 1 С
ъ= j
—оо Х«0
Jxix7*—1 Г *iXr—1
i-jjri- Z(dk) = Z(0)+ j (1)
l>l>* |X|>0
Покажем, что второе слагаемое в (1) стремится к нулю при Т-*-оо в смысле La. Имеем
М
/
I л>о
^хг-1
ikT
Z(d\)
= Г I gixr-« .)
F(d\).
|X|>0
(2)
199
Так как выражение
eiXT—I ш== sinXr * cos ХГ—1 1
ат Х7 хт
ограничено при любых Я, и Г и стремится к нулю при Т-*-—*-оо для любого ХфО, то (для обыкновенного процесса \(t), для которого F{(—оо, оо)}<оо) в силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла получаем, что (2) стремится к нулю при Т —> оо.
Таким образом, при Т—>оо имеем —>Z(O). Однако спектральная мера Z(0)=a+6, где а=М|, а б — возможно, какая-то случайная величина, такая, что Мб=0. Значение \(t) случайного процесса представляется в виде \(t) = =a+6+i*(7), где \*(t) такой случайный процесс, для которого Z (0) =0. Можно считать, что значение б прибавлено к реализации процесса a+?*(f) в бесконечно далеком прошлом. Иначе говоря, если бт^О, то бесконечно далекие прошлые значения процесса связаны с его значениями при OcfcT.
Свойство независимости значений случайного процесса \(t) в момент t от его значений в далеком прошлом называется эргодичностью. Математические определения эргодичности бывают различными. Например, можно понимать эргодичность в том смысле, что %т—>а в L*. Мы видели, что для такой эргодичности необходимо и достаточно, чтобы Z(0)=a, т. е. 6=0. Практически спектральная мера, конечно, не бывает известной, и вопрос об эргодичности понимается как вопрос о независимости значений процесса в любой данный момент времени от его значений в далеком прошлом. Этот вопрос каким-то образом решается на уровне опыта и интуиции.
Пусть процесс ?(*) эргодичен. Оценим близость выражения \т к M?(f) = a (предполагая без ограничения общности, что в = 0). Существуют математические теоремы, которые устанавливают, что при некоторых условиях, усиливающих свойство эргодичности, распределение вы-
V I и
мально. Следовательно, достаточно оценить дисперсик> этого выражения.
Аналогично формулам (1) и (2) имеем
ражения
больших Т приблизительно нор-
200
Пусть в точке Х=0 существует непрерывная спектральная плотность /(X). Тогда, заменяя F(dX) на f(X)dX и делая замену переменной \Т=и, Х=и/Т, из (3) получаем
= 2« Ц / ,0.11(0 IIе f(Q)-2«f(0).
(В последней выкладке использованы нормы в L2 по мере Лебега и равенство Парсеваля ll<plla=2jill<plla.)
Таким образом, при оценке М?(/) с помощью %т мы ориентируемся на нормальный закон и среднеквадратичное уклонение вида ]/2тсД0)/7\ К сожалению, последнее выражение зависит от неизвестного (в большинстве практических ситуаций) значения f(0). Конечно, спектральная плотность стационарного процесса может оцениваться по наблюдениям, но именно оценка спектральной плотности /(X) в точке X = 0 представляет практические затруднения. Однако какое-то понятие о /(0) на основании наблюдений получить обычно можно.
