Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
1 Эйлер Леонард (1707 - 1783) - великий математик, член Петербургской Академии наук, большую часть жизни провел в России, по происхождению швейцарец.
168
2°. Функция Г (а) в области определения непрерывна и имеет также непрерывные производные любого порядка.
Для этого покажем, что интеграл (19) сходится равномерно на любом сегменте [or,/?] <z (0,+ 00), где 0 < а < [5 < +оо . Действительно, при а <а< (5 :
О < xal ех < ха~1 ех, если 0 < jc < 1; 0 < jc0-1 е~х < хр~х е~х , если х>1 и
1 +со
интегралы Jjca~le~xdx и J хр~х е~х dx сходятся. Тогда из равенства (20) на
0 1
основании признака Вейерштрасса о равномерной сходимости (см. теорему 10) интегралов вытекает равномерная сходимость интеграла (19) на [or,/?]. Отсюда
в силу теоремы 13 функция Г (а) непрерывна на [or,/?] и в силу произвольности сегмента [or,/?] <z (0, + оо) она является непрерывной на всей области определения.
Теперь докажем дифференцируемость этой функции при а > 0. Заметим, что функция f'a = xal In х • ех непрерывна при а> 0 и ;с>0,и покажем, что интеграл
-КО +00
J f'a (jc, ci)dx= J JC0-1 In jc • e~x dx =
0 0
1 +co
= J jc“4 In jc • e~x dx + J jc“-' In jc • e~x dx = /, +12 (21)
0 1
сходится равномерно по а на каждом сегменте [or,/?] <z (0,+ 00). Выберем
число ? так, чтобы 0<е<а. Тогда jcelnjc—>0 при jc—>0 + 0. Поэтому
существует число С> 0, такое, что j jc^ In jc j < С при jce[0,1]- Поэтому на
[0,1] справедлива оценка
jc^'huc-e"' \<Cxa~?~l при а>а и интеграл от правой части этой оценки сходится. Тогда по признаку Вейерштрасса интеграл /, сходится равномерно на сегменте [а, /?]. Аналогично для достаточно малого числа е > 0 : jc~* lnjc —> 0 при jc —> +00. Поэтому существует число С, >0, такое, что jc”* lnjc <С, при jc>1 и для таких х и при любом а е [а, /3]
1 JC0-1 lnjc| < | jc"* lnjc-jc^4 е~х | < С, хр+е~х ех.
Отсюда в силу сходимости интеграла Г2 вытекает равномерная сходимость интеграла /2 на сегменте \а, /?]. Таким образом, интеграл (2.1) сходится равномерно по а на каждом сегменте [а, /?], следовательно, функция Г (а) по теореме 14 дифференцируема при а > 0 и справедливо равенство
Г'(а)= J х"-1 In х ¦ е~х dx. (22)
о
Относительно интеграла (22), повторяя те же рассуждения, получим
+СО
Г" (а) = J ха~' In2 х • е~х dx.
о
По индукции доказывается, что гамма-функция бесконечно дифференцируема на промежутке (0, + оо) и для ее п- й производной справедливо равенство
+00
Г(п)(я)= jV^lnп х-ех dx.
О
3°. Функция Г (а) удовлетворяет следующему функциональному уравнению
Г(а + 1) = аГ(й). (23)
Для обоснования тождества (23) достаточно в интеграле для Г (а +1) интегрировать по частям:
Г (а +1) = J ха е х dx = -ха е
+ a J ха 1 е х dx = а Г (а).
о
Отметим, что тождество (23) является основным функциональным соотношением для гамма-функции. На нем основана вся теория гамма-функции. Прежде всего заметим, что формула (23), повторно примененная, дает
Г (а + п) = (а + п -\)(а + п - 2) ¦¦ (а + 1)а Г (а) . (24)
Это равенство показывает, что достаточно знать Г (а) на (0,1], чтобы
вычислить ее значение при любом а > 0. Если в (24) положить а = 1 и принять во внимание,что
+00
Г(1)= \e~xdx = \,
о
то получим
Г (и +1) = и (и -1) • ... • 3 • 2 • 1 = и!
Далее формула (23) позволяет исследовать поведение Г (а) при а —> 0 + 0 :
Г(в)=Е(?±!>~Ш_1.
а а а
Отсюда видим, что Г(а)—>+оо при а—>0 + 0.
Из выражения для второй производной гамма-функции видно, что Г"(а)>0 при всех а> 0. Следовательно, функция Г'(а) строго возрастает на (О, + оо). Поскольку Г(1) = Г(2) = 1, то по теореме Ролля (см. §7 гл. 1) на сегменте [1,2] производная Г'(а) имеет единственный нуль в точке а0 е (1, 2). Значит, Г'(а)<0 при а<а0 и Г'(а)>0 при а>а0, т.е. функция Г (а) на (0, а0) строго убывает и на (а0, + оо) строго возрастает; при а = а0 170
имеет минимум. Вычисления показывают, что
а0 =1,4616..., шпГ(а) = Г(«0) = 0,8856... .
При а > 2 из формулы (23) следует, что
Г(а + 1) = аГ(а)>аГ(2) = а, из которого Г (а) —> +оо при а —> + оо .
Формула (23) позволяет продолжить функцию Г (а) с сохранением ее свойств на отрицательные значения а, не равные —1,-2,..., — п,... . Для -1 < а < 0 положим по определению
