Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
-л < argz < л , Argz = arg г + 2лк , keZ .
Рис. 25
Положение точки z на плоскости XOY однозначно определяется как ее декартовыми координатами х и у, так и полярными координатами г и ф. Из рис. 23 видно, что
г = \z\, q> = Axgz, x = rcosq>, у = rs\rup. (4)
Отсюда нетрудно получить формулы для нахождения Argz комплексного числа z:
cos^ = —, sinq> = — , tgф = — , хфО. r r x
Исходя из формул (4) можно получить следующую форму записи комплексного числа z:
z = х + i у = г cos ф + ir sin ф = г (cos ф + i sin ф)
или
z = | z|(cosArg z + i sin Argz) . (5)
Запись комплексного числа z в виде (5) называется тригонометрической
формой записи. Используя (5) нетрудно доказать следующие свойства аргумента комплексного числа z :
Arg(z,-z2) = Argz,+Argz2, (6)
Arg
/ Л
Vz2/
= Argz, - Argz2.
(7)
Равенства (6) и (7) следует понимать как равенства с точностью до слагаемого, кратного 2 я .
Равенство (6) методом математической индукции распространяется на любое натуральное число п сомножителей
Arg(z, -z2 • ... •zn) = Argz,+Argz2+ ... +Argz„. (8) Если в (8) z, = z2 = ... = zn = z, to
z” =| z” j [cos (Arg z”) + г sin (Argz")] = = I z Г [cos (n Arg z) + i sin (n Arg z) ].
(10)
Равенство (10) носит название формулы Муавра, которая дает правило возведения в натуральную степень данного комплексного числа z .
Пусть дано комплексное число а Ф 0. Комплексное число z называется корнем п - й степени из комплексного числа а, если z" = а и обозначается
z = |z| (cos Arg z + i sin Argz), a = | a j (cos Arg a + i sin Arg a) . Тогда на основании формулы (10) имеем
только z0, Zj, zn_j и все эти точки расположены на вершинах правильного
п - угольника, вписанного в окружность радиуса (этот символ означает
арифметический корень от положительного числа | а |) с центром в начале координат. Нетрудно показать, что zm = zn+m при любом meZ .
Пример 1. Даны комплексные числа z,=2-3z' и z2=l + 4z. Найти их
сумму, разность, произведение и частное.
Решение. На основании определений арифметических операций и свойств имеем:
z, +z2 — (2 — Зг) + (1 + 4 i) — (2 +1) + i (—3 + 4) — 3 + i, z, - z2 = (2 - Зг) - (1 + 4/) = (2 -1) + i (-3 - 4) = 1 - li, zt • z2 = (2 - 30 • (1 + 40 - 2(1 + 40 - 3i (1 + 40 =2 + 8i- 3i -12i2= 14 + 5/, z, _ 2 —3z _ (2 —3Q(1 —4Q _ —10 — 11/ _ 10 ,U z2 ' 1 + 4/ ~ (1 + 40(1-40 ~ 1-Ш2 _ 17 117
символом yfa—z. Выведем формулу для вычисления значений корня у[а Пусть
Из формулы (12) следует, что среди значений у[а различными являются
+
Пример 2. Найти модуль и аргумент комплексного числа (1 + /)10 ¦ Решение. Предварительно на основании формулы (10) вычислим данное комплексное число
(1 + z)10 =| 1 + /110 [cos 10 Arg (1 + г) + г sin 10 Arg (1 + г) ] =
= 25
( 7t
coslO —\-2лк
u
Л • 1 С\(71 Л 7 Л
+ ismlO —ь2 лк
U
= 32|
5л
COS-------H'SHl
v 2 2
¦ 5п^ Л 71 жл
= 32 cos—+ ism—
I 2 2
= 32/.
Отсюда
| (1 + i) |ш = 32, Arg (1 + i) 10= + 2 n m, m&Z.
Пример 3. Вычислить все значения корня \[—8 .
Решение. В силу формулы (12) имеем
, I—— , г— ( 7г + 2 кл . 7г + 2 кл ^
V-8 = V 8 cos-------------+ icos--------
I 3 3
где к = 0,1, 2, arg(-8) = TT, j — 8J = 8. Тогда при к- 0,1,2 получим
.( Л .71
z, =2 cos—+ ism—
I 3 3
\ ' л + 2л . л + 2лл
cos- + ism-
/ 1 3 3 )
= -2,
z3 =2
л + 4л . л + 4л
cos------------1-ism
= 1-1л/з .
3 3
2. Последовательности и ряды комплексных чисел
Последовательность (zn) , членами которой являются комплексные числа
zn, называется последовательностью комплексных чисел.
Комплексное число z0 называется пределом последовательности (zn),
и обозначается символом
если lim \zn - z0 = О
lim z„=z0.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.
Если zn = хп + i уп и z0 = х0 + i _у0, то на основании равенства
\z„ ~zo\ = \(xn -xo) + i(yn ~Уо)\ = у1(хп -*о)2 + (Уп -Уо)2 нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема 1. Для сходимости последовательности комплексных чисел (zn) = (xn + i уп) к комплексному числу z0=x0+ i у0 необходимо и
