Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 70

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 283 >> Следующая

lim/(>>)= lim f f(x,y)dx= f<p(x)dx.
У^Уо У^Уо a a
Теорема 13 ( непрерывность интеграла по параметру). Если функция /{х,у) задана на бесконечном прямоугольнике Рт = {{х,у)\х> а, с < у <d] и непрерывна на нем как функция от двух переменных и интеграл (7) сходится равномерно на сегменте [c,d~\, то функция (7) непрерывна на [с,d].
Теорема 14 (дифференцируемость интеграла по параметру). Пусть: 1) функции f(x,y) и f'y(x,y) непрерывны на множестве Рт; 2) интеграл (7)
+со
сходится поточечно на сегменте [c,d]; 3) интеграл J f'y{x,y)dx сходится
a
равномерно на сегменте [c,d]. Тогда функция 1{у), определенная равенством (7), дифференцируема на [с, d] и
Г
^+ <Х> \ +СО
Г(У)= \f(x,y)dx = jfy(x,y)dx.
V a J a
Теорема 15 (интегрируемость интеграла по параметру).
1. Если функция / (х, у) непрерывна на множестве Рт и интеграл (7)
сходится равномерно на сегменте [с, d], то справедливо равенство
{d
dx.
\l(y)dy= J \f(x,y)dx dy= \ J f (x,y)dy
с с V a J a \c у
2. Пусть: 1) функция f(x,y) непрерывна на множестве точек (х,у), где х >а и у> с, и там неотрицательна; 2) интегралы
+со +со
\f(x,y)dx и \f(x,y)dy
а с
равномерно сходятся, первый - по у на любом конечном промежутке [c',J'] <z[c,+oo), а второй - по х на любом конечном промежутке [а',6'] а [а, + оо). Тогда, если существует один из двух повторных интегралов:
4-00 (-+-со \ +со ( 4-00 ^
м= \ lf(x,y)dx dy, N= J \f(x,y)dy dx,
с V a J a v C J
то другой также существует, и имеет место равенство М = N.
4. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра
Рассмотрим теперь функцию f(x,y), определенную для всех х из конечного промежутка [а, Ь\ и значений yeY<^R. Пусть при каждом фиксированном у из Y функция f(x,y) является неограниченной при х->Ь, но такой, что сходится несобственный интеграл
1(У)= \f{x,y)dx.
(12)
В этом случае говорят, что несобственный интеграл (12) сходится на множестве Y поточечно. По определению несобственного интеграла (12)
ь ъ-р
\f(x,y)dx= Hmo \f(x, y)dx.
a a
Отсюда следует, что интеграл
Р(Р,У)= \f(*,y)dx
a
представляет собой функцию от [3 и у , и при у фиксированном и —> 0 + 0
имеет пределом функцию / (у).
Определение 4. Если стремление функции F (Р, у) к предельной функции I (у) при р —> 0 происходит равномерно относительно параметра у на множестве Y, то интеграл (12) называют равномерно сходящимся по параметру у на множестве Y.
В силу определения 2 это значит, что для любого ? > 0 найдется число
3 = 3 (?) > 0, такое, что для всех 0 < р <3 неравенство
\f(x,y)dx
b-0
будет выполняться сразу для всех у из Y.
Аналогично определяется понятие равномерной сходимости несобственного интеграла в случае, когда особой точкой является х = а . В этом случае интеграл (12) рассматривается как предел интеграла
Р(а,У)= \f{x,y)dx
а+а
при а —> 0 + 0. На основании общего критерия Коши равномерного стремления функции к предельной функции можно также его сформулировать применительно для каждого случая х = Ь или х = а , а также перенести на эти случаи достаточные признаки равномерной сходимости, рассмотренные в п.3.1.
Отметим также, что на интегралы (12) распространяются все теоремы из п.3.2 о функциональных свойствах несобственных интегралов первого рода, зависящих от параметра. Для примера приведем аналог теоремы 12 о предельном переходе под знаком интеграла.
Теорема 12*. Пусть функция f(x,y) при у—>у0, где _у0 - предельная точка множества Y, стремится к предельной функции <р(:с) равномерно относительно х на каждом сегменте [a,b-/3], 0<[5 <Ъ-а, и интеграл
(12) равномерно сходится на множестве Y. Тогда
ь ь
lim / (у) = lim Г / (х, у) dx = f <p(x)dx.
У~*Уо У-*Уо a
Замечание 3. Может случиться, что в несобственном интеграле (12) обе точки х = а и х = Ь являются особыми точками подынтегральной функции. В таком случае достаточно интеграл (12) представить в виде суммы двух интегралов
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed