Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
г(йс) = ?(^+1) (23*}
а
Правая часть этого равенства определена для а е (-1, 0). Получаем, что так продолженная функция Г(а) на (—1,0) принимает отрицательные значения и при а—>-1 + 0, а также при а—>0-0 функция Г(а)—>—оо. Определив таким образом Г (а) на (-1,0), можно по той же формуле (23*) продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолженная функция будет принимать уже положительные значения и Г(а)—>+оо при а—>-1-0 и при а—>-2 + 0. Продолжая этот процесс, определим функцию Г (а) на все отрицательные значения а, кроме целых отрицательных чисел. График функции Г (а) представлен на рис. 22.
7.2. Бета-функция
1°. Областью определения функции В (а, Ь) от двух переменных а и b является множество пар (а, Ь), где а> О и Ь> О, так как именно для таких а и b интеграл (18) сходится (см. пример 9 §10).
2°. Функция В (а, Ь) в области определения a >0 и Ъ > 0 непрерывна и имеет там непрерывные частные производные любого порядка.
3°. Функция B(a,b) симметрична относительно своих аргументов,
т.е.
В(а, Ь) = В(Ь, а).
Для доказательства этого свойства следует произвести замену переменной х = 1 — t в интеграле (18).
4°. Для бета-функции справедливы следующие интегральные представления:
+"о fl-1 1 fl-1 , i-1
B(a,b)= f------------dy=\------------irdy- (25)
о а + З'Г" oJ (l + jv)^
Первая из формул (25) получается, если в интеграле (18) произвести замену х = у/{\ + у). Вторая формула получается из первой, если интеграл разбить на два : по сегменту [0,1] и промежутку [1, +оо), и во втором интеграле сделать замену переменной \ / у = z.
5°. Для функции В (a, Ъ) справедливы следующие формулы приведения :
А
В (а + 1, Ь) =------В(а, Ъ); В(а, b +1) =-------В(а, Ъ).
а+b а+Ь
Для обоснования первой из этих формул достаточно в интеграле для функции В (а + 1, Ь) интегрировать по частям. Вторая формула следует из первой в силу свойства симметрии.
6°. При 0 < а < 1 справедлива формула
+00
a-1
—dy =---------------------------. (26)
о 1 + у sin а я-
Отсюда, в частности, если а = 1 -а =1 /2, то В (l/2,1/2) = я-.
7°. Функция В(а,Ь) выражается через гамма-функцию по формуле
В(с,Ь) = ЩНЖ. (27)
Г (а +Ь)
Из формул (26) и (27) вытекает следующая формула дополнения для гамма-функции:
71 т> ( 1 л Г(й)Г(1-й)
= В (a, 1 -а) =-----—------- = Г(а) Г (1-а),
sin ал- Г(1)
т.е. при а Ф ±к, к = 0,1, 2,справедлива формула
sin 7i а
При а = 1/2 из формулы (28) имеем
+°° _L —
= J x 2 е~х dx = \7c .
Выполнив в последнем интеграле замену х = у , получим известный нам интеграл Пуассона
7
о
8°. Формула Лежандра. Справедлива следующая формула:
I
B(a,a) = T~la 5 -,a
v2 j
Заменив в обеих частях бета-функцию ее выражением (27) через Г, получим формулу Лежандра
Г(д)Г^д+| = 2^1а 4лТ(2а).
9°. Формула Стирлинга
^ 1 1 139 л, -4ч'
1+-----+----- -----——- + 0(п 4)
Г (и +1) = п != ^2лп
п
п
1 е ,
12 п 288п1 51840и
определяет асимптотическое поведение гамма-функции для достаточно больших значений переменной а = п .
Отметим, что многие интегралы могут быть найдены через эйлеровы функции. Пример 6. Вычислить интеграл
+00
J = J (1 + х)~2 dx .
Решение. В силу формул (25),(27) и (28) имеем
( 5\ f оЛ
J = B\
5 3 4’ 4
Г (2)
Г(“
U
71
2л/2
Пример 7. Вычислить интеграл
я/2
J= | sin 2a_1 ф cos24-1 ф d(p, a,b> 0.
о
Решение. В интеграле J произведем замену x = sin 2ф. Тогда dx = 2 sin$> cos$> dф и
y = I )xa~\\-x)b-' dx = -B(a,b) = -
2 о 2 2 Г(я + 6)
1. Комплексные числа. Комплексным числом z называется
упорядоченная пара (а, b) действительных чисел а и b. Два комплексных
числа z1=(al,bl) и z2=(a2,b2) называются равными, если а1=а2 и
1\=Ь2.
Сумма и произведение комплексных чисел z, =(al,bx) и z2 =(а2, b2) определяются соответственно равенствами :
