Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Равенство (17) в силу теоремы 3 эквивалентно двум равенствам:
1йп«(х,у) = «(х0,у0) и limu(x,>0 = u(xo,;yo). (18)
х—>х0 х->х0
У^Уо У~>Уо
Следовательно, в силу (18) непрерывность комплексной функции f(z) в точке z0 эквивалентна непрерывности и(х,у) и в точке (jc0,_у0).
Из (17) и (16) следует, что сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке z0 комплексных функций комплексной переменной f(z)
и /2(z) есть функция, непрерывная в точке z0.
Пример 4. Функция /(z) = z2 непрерывна на всей комплексной плоскости (z) , так как функции и(х,у) = Re/(z) = х1 -у1 и = Im/(z) = 2ху
являются непрерывными на всей координатной плоскости XOY .
Пример 5. Функция /(z) = arg z, определенная при z * 0 , непрерывна в любой точке z0, не лежащей на отрицательной части действительной оси. В самом деле, если z0 = х0 < 0, то
у
limarg (л; + iy)= lim (arctg— + л) = л
z->x о у->0+0 X
(у> 0) х->х0
и lim arg (х + iу)= lim (arctg — -л) = - л .
z->x0 у-» 0-0 X
(><0) х->х0
Отсюда следует, что функция /(z) = argz при z—>x0< 0 не имеет предела, а в остальных точках z она непрерывна.
Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z0. Тогда если существует конечный предел отношения
= , (19) Az^O д2 Az^O д2
то он называется производной функции f(z) в точке z0 и обозначается символом /'(z0). Функция f(z), имеющая конечную производную в точке z0, 182
называется дифференцируемой в этой точке.
Из равенства (19) следует, что если функция / дифференцируема в
точке z0, то
Aw = A/(z0) = /'(z0)Az + a(Az)Az , (20)
где a (A z) - бесконечно малая функция при A z —> 0.
В силу равенства (20) заметим, что функция, дифференцируемая в точке z0, является непрерывной в этой точке. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Функция /(z) называется дифференцируемой в области D, если она
дифференцируема в каждой точке этой области.
Из определения производной и свойств пределов вытекает, что основные правила дифференцирования, известные из курса дифференциального исчисления действительных функций, распространяются полностью на комплексную функцию комплексной переменной.
1) если /(z) = С = const, то С' - 0 ,
2 )[/1(z)±/2(z)]' = /;(z)±/2'(z),
3) [ /, (z) ¦ /2 (z)]' = // (z)/2 (z) + fx (z)/2' (z),
4, (7i(*)j. //(z)/2(z)-/1(z)/2'(z)
Л2(Ю
d f d f dz
5) если w = /[z(0], то
dt dz dt
6) если w = f (z) и z = / *(w), то [/ *(w)]' = -
f(z)
Теорема 4. Для того чтобы комплексная функция комплексной переменной f(z) - и (х,у) + i v {х,у) была дифференцируемой в точке
z0 = x0+iy0, необходимо и достаточно, чтобы функции и(х,у) и и(х,у) были дифференцируемы в точке (хп,уп) как функции от действительных переменных х и у и их частные производные в точке (jc0 , jy0) удовлетворяли условиям:
ди до ди до , ^
— = — и — =-------. (21)
дх ду ду дх
Тогда производная f(z0) может быть вычислена по одной из следующих формул:
Л_ди ,до_до . ди _ ди ,ди_до .до
0 дх дх ду ду дх ду ду дх
Условия (21) имеют основное значение в теории комплексных функций комплексной переменной и в приложениях этой теории к задачам механики и
физики. Они называются условиями (или уравнениями) Даламбера - Эйлера.
4. Аналитические и гармонические функции. Функция f(z) называется
аналитической в точке z0, если она дифференцируема в каждой точке
некоторой окрестности точки z0. Функция называется аналитической в области
D, если она аналитична в каждой точке этой области.
Аналитические в области D функции f (z) = u + iu обладают замечательным свойством: из одного факта существования только первой производной /'(z) в D вытекает, что функция /(z) имеет в этой области производные любого порядка. Отсюда следует бесконечная дифференцируемость функций и(х,у) и и (х,^) в области D. Пусть функция /(z) = u + iu является аналитической в области D. Тогда выполняются всюду
в области D условия Даламбера-Эйлера, т.е. условия (21). Из этих равенств следует
д2и д2и д2и д2и
дх дудх ду дхду
Складывая полученные равенства, получим
