Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
достаточно, чтобы последовательность действительных частей (хп)
сходилась к действительной части х0 комплексного числа z0, а
последовательность мнимых частей (>,п) сходилась к мнимой части у0
12* 179
комплексного числа z0, т.е. хл —> х0 и у„ ^ у0.
Отметим, что для последовательностей комплексных чисел справедливы теоремы, аналогичные теоремам 2, 3, 6 и 7 из § 3 для последовательностей действительных чисел.
Ряд вида
+00
2Х =zi + z2 + ... +zk+ ..., (13)
fc=l
где zteC, называется рядом комплексных чисел. Ряд (13) называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм Sn = z, + z2 + ... +zn. При этом предел 5, = Нш5'л называется суммой ряда
+00
(13) и S = ¦ Если последовательность (Sn) частичных сумм не сходится,
к=\
то ряд (13) называется расходящимся.
+00 +00
Теорема 2. Для того чтобы ряд ? 2 к ~ Z! хк + г У к сходился,
к=\ fc=l
необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды действительных чисел
+оо +со
Xх к и ? У к ¦ При этом справедливо равенство
к=1 /с=1
+00 +00 +00 +00
=2>* + *л =Лхк + ^Ук ¦
к=1 к=1 /с=1 к=\
Для рядов комплексных чисел справедливы утверждения, приведенные в §11 п.1 для рядов действительных чисел.
3. Комплексные функции комплексной переменной. Пусть заданы две плоскости комплексных чисел z = x + iy и w = u + iv (рис. 26). Рассмотрим
непустое множество D точек в плоскости (Z) и множество G в плоскости
(W). Если каждому z е D по некоторому закону / поставлено в соответствие
единственное комплексное число weG, то говорят, что на множестве D задана комплексная функция комплексной переменной, отображающая множество D в множество G. Символически это записывается так:
/: D —» G или w = /(z), z е D.
При этом множество D называют областью определения функции. Множество Е = { /(z) | z е D} называют множеством значений функции.
Ясно, что 2? =/(D) <= G. Если E = G, то говорят, что функция / отображает D на G .
Функцию /(z) можно записать в виде
w = f(z) = u(x,y) + iu(x,y), (x,y)eD, где u(x,y) = Ref(z), v(x,y) = \mf(z) - действительные функции от переменных х и у .
Примерами комплексной функции комплексной переменной служат: w=z2, w = Rez, w = Im z, w = jzj, w = z2, определенные на всей комплексной плоскости (Z). Комплексная функция w = arg z определена при
всех гФ 0. В случае функции w=z2 выделим ее действительную и мнимую части:
w = z2 = (x + iy)2 = х2 - у2 +2ixy .
Отсюда и =и{х,у) = х2-у2, и = и(х,у) = 2ху .
Пусть функция w = f(z) определена в некоторой окрестности точки z0 = х0 + iy0. Комплексное число А = a+ ib называется пределом функции f (z) в точке z = z0 или при z —> z0, если предел модуля разности
liml /(z) -А I = liml f(x + iy)- A \ = 0 (14)
z-*z0' Х-УХо'
У^>Уо
и этот факт обозначают символом lim /(z) = А.
z->Zo
Если f(z) = u(x9y) + iu(x9y) и А = a + ib, то в силу равенства
\f{z)-A\ = J{u-a)2+(v-b)2 для выполнения равенства (14) необходимо и достаточно, чтобы
limu(x,y) = a и lim v(x,y) = b. (15)
x—>x0 X > x0
У^Уо У->Уо
Следовательно, справедлива следующая
Теорема 3. Для того чтобы комплексная функция f(z) = u + iu имела своим пределом комплексное число А = a + ib в точке z0 =х0+ iу0,
необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы (15).
Отметим, что все основные утверждения, относящиеся к пределам действительных функций от действительных переменных, без изменения распространяются на комплексную функцию комплексной переменной. Например, если
lim /, (z) = Aj и lim f2 (z) = A2,
z->z0 z->z0
если
lim [/,(z)±/2(z)] = Ах±Аг = lim fx(z) ± lim/2(z),
z-»z0 z-»z0 z-»z0
lim[/;(z)-/2(z)] = ArA2 = lim /, (z) ¦ lim /2 (z), (16)
z—»z0 z—>z0 z—>z0
/7z) X f\(z)
lim"^- = A = -------1 (A* 0).
*-»« /2(z) Л2 hm/2(z)
z-»z0
Функция f(z) = u + iu называется непрерывной в точке z0=x0+iy0,
lim /(z) = /(z0). (17)
