Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, 2тгг является периодом функции . Далее нетрудно показать, что он - основной.
Из формул Эйлера (27) и (28) найдем
~iz , -iz Az -iz
e +e e -e
cosz =--------------------------------, sinz =-. (32)
2 21-
Формулы (32) также называют формулами Эйлера. Из этих формул следует, что 2л является основным периодом функций cosz и sinz и справедливы следующие тождества :
cos2 z + sin2 z = 1, cos(z, + z2) = cosz, -cosz2 - sinz, -sinz2, sin (z, + z2) = sin z, • cos z2 + cosz, • sin z2.
В отличие от действительных тригонометрических функций cosx и sinx комплексные функции cosz и sinz не ограничены на комплексной плоскости (Z). Для этого на основании (32) оценим модули cosz и sinz :
I cos z I = I cos (x + iy) I = - I ei(x+iy) + ei(xMy) I = - I ey - ey I ,
I 2 I 1 2 1 1
I sinz I = I sin(x + iy) I = - I ei(x+iy) - e~i(x+iy)\ >-\ey-e-y\.
2' 1 21 1
Отсюда при j у | —>¦ +со следует, что | cosz | и ] sin z | принимают сколь угодно большие значения.
6. Теорема единственности аналитической функции. Аналитическое продолжение. Точка z = a называется нулем аналитической функции /,если /(а) = 0 . В действительном анализе множество нулей дифференцируемых функций может иметь предельные точки. Такова, например, точка х = 0 для функции / (х) = х2 sin (1/х) .
В комплексном анализе дело обстоит иначе. Нули аналитической функции /(х), не тождественно равной нулю, непременно изолированы и их число не более чем счетно1.
Точка z = a называется нулем функции f порядка к, к е N, если в этой
точке
Да) = /\а) = ...= f«-"(a) = 0, /<*> (а) * 0.
Теорема 5. Точка z = а тогда и только тогда является нулем функции f порядка к, когда она в некоторой окрестности точки а представлена в виде
f(z) = {z-a)k(p(z), (33)
где функция <p(z) аналитична в точке а и <р(а) * 0.
Теорема 6 (изолированность нуля). Пусть функция / (z) аналитична в точке а и f(a) = 0. Если функция f (z) не равна тождественно нулю в некоторой окрестности точки a, то существует такая окрестность точки
a, в которой нет нулей функции f, отличных от точки a.
Доказательство. По теореме 5 функцию /(z) в некоторой окрестности точки а можно представить в виде (33), где k> 1, <p(z) аналитична в точке z = a и <р(а)Ф 0. В силу непрерывности функции <p(z) в точке z = a из условия (р{а) Ф 0 следует, что существует такая окрестность U(«) точки а, в которой <p(z)* 0. Следовательно, в окрестности IJ(a) функция /(z) имеет единственный нуль а.
Следствие 1. Пусть функция f(z) аналитична в области D и
обращается в нуль на последовательности (an) различных точек области D, сходящейся к точке ae D . Тогда f (z) = 0 в некоторой окрестности точки z — a.
Доказательство. В силу непрерывности функции /(z) в точке a
lim /(z.) = /(«) = 0.
П-? oo
Отсюда следует, что предельная точка а является нулем /(z). Поскольку в
1 Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. его элементы можно перенумеровать.
любой окрестности точки а имеются нули функции /(z), отличные от а, то в силу теоремы 6 функция f(z) = О в некоторой окрестности точки z = а .
Теорема 7 (единственность аналитической функции). Если две функции /(z) и g (z), аналитические в области D, совпадают на множестве Е <z ?), которое имеет хотя бы одну предельную точку aeD, то f{z) = g(z) всюду в D.
Доказательство. Рассмотрим разность h(z) = /(z)- g(z), которая является аналитической в D и на множестве 2? функция h(z) = 0. Докажем, что множество F = {z е ?) | h(z) = 0}, содержащее Е, совпадает с D. В силу следствия 1 точка ae D (предельная точка множества Е) является нулем функции h(z) и в некоторой окрестности U(a) точки z = a функция h(z) = 0. Значит, точка а со своей окрестностью U(«) с= F, т.е. а является внутренней точкой множества F. Рассмотрим открытое ядро F0 множества F, т.е. совокупность всех его внутренних точек. Ясно, что F0 непусто, так как оно содержит точку а. По построению F0 - открыто. Докажем, что оно одновременно и замкнуто. Пусть b е D является любой предельной точкой множества F0. Тогда из F0 можно выделить последовательность фп)
различных точек, сходящихся к точке b . Поскольку Ъп е F0, то кфп) - 0 . Тогда в силу следствия 1 точка Ь также является нулем функции h(z) ив некоторой окрестности точки Ъ функция h(z) = 0. Это означает, что точка b с некоторой своей окрестностью принадлежит F0, т.е. be F0. Итак, получили, что в области D существует одновременно открытое и замкнутое подмножество F0. Как
известно (см. § 13, п.1), в пространстве Rn (n> 1) только само пространство и пустое множество одновременно являются открытыми и замкнутыми. Область D по определению связная, тогда множество F0 либо совпадает с D, либо с
