Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
b a Ь
J / (х, у) dx = \f(x,y)dx+\f (x,y)dx, a<a <b,
a a a
и применить изложенную теорию к каждому из слагаемых в отдельности.
Аналогичное замечание справедливо и по отношению к несобственному интегралу первого рода (7).
5. Кратные интегралы, зависящие от параметра
Пусть х = (х1,х2,...,хп) - точка ограниченной области D с R”,
У = {УпУг’ — ’Ут) ~ точка ограниченной области G с Rm. Обозначим через DxG - декартовое произведение области D на G, т.е.
D х G = {z = (х,у) | х е D, у € G}. Пусть функция /(z) = /(jc,у) определена в
области DxGczRn+m и интегрируема в собственном смысле по jc в области D при любом у € G . Тогда интеграл
1(У)= \f(x,y)dx (*)
D
представляет собой функцию, определенную в области G. В этом случае интеграл (*) называют интегралом, зависящим от параметра у, т.е. от т
числовых параметров у\,уг, — ,ут ¦
Теорема 16. 1. Если функция f(x,y) непрерывна на замкнутой области
DxG = DxG, то интеграл (*) является непрерывной функцией параметра у в области G.
2. Если функция f(x,y) непрерывна на замкнутой области DxG, то функцию (*) можно интегрировать по параметру у под знаком интеграла, т.е. справедливо равенство
\l(y)dy = \dx\f(x,y)dy.
G D G
3. Если функция f(x,y) и ее частная производная /Л (х, у)
непрерывны на DxG, то интеграл (*) имеет в области G непрерывную
частную производную
sm = ,sf<.x.y)dx
дук о дук
Пусть (*) является несобственным интегралом, зависящим от параметра у. Для простоты рассмотрим случай, когда G = D <z Rn. Пусть функция f(x,y) в области DxD имеет специальный вид: f(x,y) = F(x,y)g(x), где
F(x,y) - непрерывна на DxD, за исключением точек х = у, g(x) ограничена в D. Рассмотрим интеграл
J(y) = jF(x, у) g(x) dx , (**)
D
где подынтегральная функция имеет особенность на множестве х = у. Пусть В(у0,д) - п - мерный шар радиуса 8 с центром в точке у0 е D.
Определение 5. Интеграл (**) называется равномерно сходящимся по параметру у в точке у0 е D, если для любого ? >0 существует 8 > О
такое, что шар В(у0,8) a D, и для любой измеримой области Q <z В(у0,8) и всех у е В(у0,8) выполняется неравенство
\F(x,y)g(x)dx <?. п
Теорема 17. Если несобственный интеграл (**) сходится равномерно в точке у0 е D, то он непрерывен в точке у0.
Теорема 18 (достаточное условие). Если существуют шар В(у0,8) и положительные постоянные а и С, такие, что при всех х и у из В(у0,8) выполняется оценка
с
-------г^. а<п,
I х~ У Г
то несобственный интеграл (**) сходится равномерно в точке у0.
6. Примеры вычисления несобственных интегралов Пример 4. Вычислить интеграл
+r sin* ,
J -----dx . (13)
о X
Решение. Сходимость интеграла (13) следует из примера 4 § 10. Введем в рассмотрение более общий интеграл, содержащий параметр (11):
+СО <\1Т1 Y
1{у)= ]еух---------dx(y> 0),
О X
из которого интеграл (13) получается как предел при у—>0. Интеграл I(у) (см. пример 3) сходится равномерно по у на промежутке [0, + оо). Из равномерной сходимости интеграла 1(у) и непрерывности подынтегральной функции
1(х,У) =
_ух smx
* ------------, -X > 0, >> > 0;
х
1, х = у = 0.
согласно теореме 13 следует непрерывность функции 1(у) на [0, + оо). Отсюда уже вытекает справедливость равенства
lim 700 = 7(0).
_у-»0+0
Далее найдем значение 1{у). Для этого дифференцируя под знаком интеграла (11), получим
+00 1
7'(у) = - J е~ух sinxdx =-----------, (14)
о 1 + .У
что законно в силу равномерной сходимости последнего интеграла для всех у > у0 > 0, где у0 - достаточно малое число. Равномерная сходимость интеграла (14) следует из признака Вейерштрасса (см. теорему 10) в силу справедливости оценки : | -е~ух sinx | < е~Уо* при у > у0 и х>0 и сходимости несобственного интеграла
+00
J е~у°х dx
о
при любом >>0 > 0. Интегрируя равенство (14) по у от 0 до +оо , найдем
7(+ °°) _7(у) ~~~^ + arctgу . (15)
