Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 79

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 283 >> Следующая

д2и д2и
—7 + —7 = 0. 22
дх2 ду2
Левую часть равенства (22) обозначают символом А и и называют оператором Лапласа.
Дифференциальное уравнение второго порядка (22) или
Аи=ихх+иуу=0 (23)
называют уравнением Лапласа. Функцию и(х,у), имеющую непрерывные
частные производные второго порядка в области D и удовлетворяющую уравнению (23), называют гармонической в D.
Итак, нами установлено, что действительная часть и(х,у) аналитической
в D функции является гармонической функцией в D.
Если первое равенство в (21) продифференцировать по у, а второе - по
х и вычесть из первого второе равенство, то будем иметь А и = + о = 0 ,
т.е. и мнимая часть аналитической функции является гармонической в
области.
5. Элементарные функции. Формулы Эйлера. Действительные функции ех, sinx и cos х разлагаются в степенные ряды (см. §11, п.З). По аналогии с
этими рядами комплексные функции ez, sin z и cos z определим как суммы
степенных рядов:
г ^ zn z z2 z"
е =У — = 1 + - + — +...+ — +..., (24)
я=о п\ 1! 2\ п\
sinz = ?(-1)"
_2n+l ,3 2n+l
7-------r = z-------+ ... +(-l)"?-----------7
„=o {2n + \)\ 3! (2n + l)l
(25)
(26)
которые сходятся на всей комплексной плоскости.
Применяя теорему дифференцирования степенных рядов, можно
показать, что функции ez, sinz и cosz являются аналитическими на всей
комплексной плоскости (Z) и их производные соответственно равны :
^ +00 уп А +00 7 п 1 +00 '7П ^
(о'= ъ—.
и
¦ У
+ 00
. 7
\ =* = и_1 =?— = n\ 1 1 ни!
(2п +1) z2

(sinz)' = X(-l)"
п=о (2и +1)!
= X (_1)"-------------=cos z
-.0 (2 и)!
_2л-1
_2n—1
+с° . — ¦¦ -
(COSZ)' = X (-1)"
n=i (2w)! я—1 (2w — 1)!
+оо _2fc+l
- ч Ir Z
= - sinz.
= 1 A: = и —1| = — Yj (_1)
k_J__________
(2k + 1)!
Из (25) и (26) следует, что при любом zeC
cos(-z) = cosz , sin(-z) = -sinz .
Между функциями (24) - (26) существуют равенства:
e‘z = cosz + zsinz , (27)
e~lz = cos z - i sin z , (28)
которые называются формулами Эйлера. Действительно, заменяя в (24) z на i z,имеем :
л +00 2 • 3
12 л Z IZ
= 1 + I Z---------------------------h ... +
л=0 П\ ?? П\
2! 3!
+ (-1)
п-1
Г Z
2и-1

; + (-!)-¦
+ ... .
(2и-1)! (2л)!
Поскольку полученный ряд сходится абсолютно при любом z , то законна перестановка членов ряда. Производя следующую перестановку членов ряда, получим:
,2л N
е =
1- —+ ... +(-1)"-—+... 2! (2 и)!
+
^ _Э 2(1-1 \
Z- — + ... + (—1)" —-------------+ ...
3! (2л-1)!
= cos z + /sinz .
Так как равенство (27) справедливо при всех zeC, то оно верно и при
185
- z . Тогда в равенстве (27) заменяя z на - z , имеем
e_,z = cos (-z) + i sin (-z) = cos z - i sin z.
В формуле (27) положим z = (peR , тогда
eiq> = cos (p + i sin (p. (29)
Ясно, что
ё9
= 1. Рассмотрим комплексное число
z = | z | (cos Arg z + i sin Arg z) = | z ] elArgz.
Последнюю формулу записи числа z называют показательной формой записи комплексного числа z.
Для показательной функции е2 справедливо следующее равенство:
е2' ¦ ег = e2'+Zl (30)
при всех z,,z2 е С. Из равенств (30) и (29) следует, что
е2 =ех+,у = ехе,у = ^(cosy + z'siny). (31)
Отсюда имеем
| е21 = ех, Arg ех = у + 2 к л, к eZ.
Показательная функция е2 на комплексной плоскости (Z) приобретает
новое качество (свойство): она периодична и основной ее период равен 2лг, т.е. любой другой период имеет вид 2л i к , где к - целое число. В самом деле, в силу равенств (30) и (29) имеем
е2+1ж1 = е2 • егж‘ = (cos 2 л + i sin 2 л) = е2.
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed