Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Zj +z2 = (а, +а2, Ьх + Ь2)\ (1)
z, • z2 = (tfj а2 ~b}b2, аг Ъ2+ а2Ъ^). (2)
Из определений (1) и (2) следуют, в частности, равенства
(а,, 0) + (а2, 0) = (я, + а2, 0) и (ах, 0)-(а2, 0) = (ах-а2, 0), которые показывают, что операции над комплексными числами вида (а, 0) совпадают с аналогичными операциями над действительными числами. Поэтому комплексные числа вида (а, 0) отождествляются с действительными числами а , т.е. (а, 0) = а.
Комплексное число (0,1) называется мнимой единицей и обозначается буквой i, т.е. i = (0, 1). Из (2) следует, что
i.i = i2 = (0,1)¦ (0,1) = (-1, 0) = -1, (0, b) = (0, \)-(b,0) = i-b = ib.
Тогда любое комплексное число z = (а, b) можно записать в виде
z = (a, b) = (а, 0) + (0, b) = а +ib . (3)
Запись комплексного числа z = (а, b) в виде (3) называется алгебраической формой записи комплексного числа z .
Комплексные числа вида (0,b) = ib называются чисто мнимыми. В частности, число 0 = 0 + z-0, т.е. комплексное число (0,0), является
единственным числом, которое одновременно и действительное, и чисто мнимое.
Первая компонента а комплексного числа z = (а, b) называется его
действительной частью, а вторая b - мнимой частью. Для них приняты следующие обозначения
(3 = Rez = Re(fl! + z6), b = \mz = Im(a +ib).
Нетрудно проверить, что операции сложения и умножения обладают следующими свойствами :
1°. Zj + z2 = Z2 + Z, . 2°. (z, + Z2) + Z3 = Zj + (z2 + z3).
3°. z + 0 = z . 4°. z + (—z) = 0, z = a + ib , - z = - a-ib .
5 . Zj • z2 — z2 ¦ Zj . 6 . (Zj ¦ z2) ¦ z3 — Zj ¦ (z2 ¦ z3).
7°. z ¦ 1 = z . 8°. z ¦ — = 1, — = U - i-r^-—- , z Ф 0 .
z z a2+b2 a +b
9°. (z, + z2) • z3 = z, • z3 + z2 • z3.
Для комплексных чисел zx=ax+ibx и z2=a2+ib2 единственным образом определяются разность и частное соответственно равенствами:
Z] ~г2 =(ах -a2) + i(bx-Ь2)\
Множество комплексных чисел С, введенными выше арифметическими операциями над комплексными числами и их свойствами, обозначается символом С. Множество йсС. В отличие от множества действительных чисел множество С не является упорядоченным множеством.
Комплексное число a-ib называется сопряженным с комплексным числом z = a + ib и обозначается г,т.е. z = a — i b. Для любого комплексного числа z:
1) z = z , 2) z = z<=>zei?,3) z-z = (a + bi)(a — bi) = a2 +b2.
Для любых комплексных чисел z, и г2:
Пусть на плоскости задана прямоугольно-декартовая система координат XOY. Как известно, точки числовой плоскости XOY определяются как упорядоченная пара (х, у) действительных чисел х и у. По определению комплексное число z = x + iy является упорядоченной парой (х, у) действительных чисел х и у . Поэтому каждую точку {х, jy) из координатной плоскости XOY можно принять за геометрическое изображение комплексного числа z = x + iy. В таком истолковании координатную плоскость XOY
естественно называть комплексной плоскостью (Z), а комплексные числа -точками этой плоскости. При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые - точками оси ординат (рис. 23).
Комплексное число z = x + iy можно также изобразить вектором на
плоскости XOY с проекциями х и у на координатные оси, и, в частности,
радиус-вектором с концом в точке (х, у) (рис. 23). При такой интерпретации
комплексного числа операции сложения и вычитания выполняются по правилам сложения и вычитания векторов (рис. 24).
называется модулем комплексного числа z = x + iy . Легко проверить, что
z,
, z2 Ф 0.
4) zx±z2 = Zj ± z2, 5) zx ¦ z2 = zx ¦ z2 , 6)
f \ г,
Неотрицательное действительное число
1) Rez < z , Imz < z ;
2) z = 0 <=> z = 0 ;
3) j z, + z21 < I z, j + j z2 j, j z, - z2
Рис. 23
Рис. 24
z. I Z1 I 1 n
4) | Z| * z2 j | Zj | • J z21, 1 = f---Ц; 5) z"
Z2 |Z2|
Из рис. 23 видно, что модуль комплексного числа z = x + iy есть длина вектора z с проекциями х и у. Из рис. 24 видно, что расстояние между
точками Zj и z2 равно длине вектора z, — z2, т.е. равно модулю разности
| Zj —z21. Пользуясь этим, легко написать уравнение окружности радиуса R с
центром в точке z0: | z —z0 | = . Действительно, для точек z этой окружности и
только для них расстояние от z до центра z0 равно i? .
Круг радиуса Л с центром в точке z0 определяется неравенством \z-z0\<R, т.е. все точки z, лежащие внутри данного круга, и только они удовлетворяют неравенству | z —z0 | < R .
Круг радиуса ?>0 с центром в точке z0 называется е -окрестностью точки z0 и обозначается символом U (z0, е), т.е. {J (z0,e) = {z<=C\\z-z0\<e}.
Угол q> между положительным направлением оси Ох и радиусом-вектэром z называется аргументом комплексного числа z Ф 0 и обозначается символом (p = Axgz (рис. 23). Аргумент Argz комплексного числа гф 0 определяется с точностью до слагаемого, кратного 2л. Значение аргумента Argz, удовлетворяющее условию — л < Argz < л, называется главным и обозначается arg z (рис. 25). Итак,
