Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
пустым. Так как F0 непусто, то F0=D, отсюда и F = D , т.е. при любом z е D:
h(z) = 0 или f{z) = g(z).
Следствие 2. Пусть функция h(z) аналитическая в области D и h{z) = 0 на некоторой кривой у, лежащей в D или в некотором малом круге К (Z ?). Тогда h(z) = 0 в D.
Замечание. В условиях теоремы 8 условие, что множество Е имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую D, существенно. Рассмотрим функцию /(z) = sin(l/z). Ясно, что f(zn) = 0, где zn=\/nn и zn—>0, но тем не менее /(z) не тождественна равна нулю, так как здесь предельная точка а = 0 последовательности (zn) не является точкой аналитичности данной функции.
188
Пример 6. Найти функцию, аналитическую во всей комплексной плоскости и удовлетворяющую условиям
f(l/n) = l/n, п = 1,2,.... (34)
Решение. Последовательность гп=1/и—>0, принадлежащей
комплексной плоскости С. Тогда по теореме единственности может существовать лишь одна функция, удовлетворяющая условиям (34). Ясно, что
/0) = z.
Теорема единственности аналитической функции позволяет ввести новое понятие, так называемое аналитическое продолжение.
Определение. Пусть выполнены следующие условия: 1) функция / (z)
определена и аналитическая на множестве Е; 2) F (z) аналитическая в
области D, содержащей множество Е; 3) при любом zeE: F(z) = f(z).
Тогда функция F (z) называется аналитическим продолжением функции f (с
множества Е в область D).
Теорема 8 (единственность аналитического продолжения). Пусть множество Е имеет предельную точку, принадлежащую области D. Тогда аналитическое продолжение F(z) функции f(z) с множества Е в D единственно.
Доказательство. Пусть функция / (z) имеет два аналитических продолжения Fx(z) и F2(z) с множества Е в область D. Поскольку Fj(z) = F2(z) = f (z) на E, то по теореме единственности аналитических функций Fl(z) = F2(z) в D.
Пример 7. Найти аналитическое продолжение функции
/(z)=+f z-1. (35)
П = 1
Решение. Степенной ряд (35) сходится и его сумма /(z) является
аналитической в круге К : \ z \ < 1. Известно, что / (z) = 1/(1 - z) при | z | < 1.
Рассмотрим функцию F(z) = l/(l-z), которая аналитична в С\{1} и
F (z) = /(z) при | z | <1. Следовательно, функция F(z) является
единственным аналитическим продолжением функции (35) с круга К в С\ { 1}.
Пример 8. Доказать, что при всех zeC справедливо тождество
sin2 z + cos2 z = 1. (36)
Решение. Рассмотрим функцию
F (z) = sin2 z + cos2 z -1, которая является аналитической во всей комплексной плоскости Сив силу известного тождества из курса тригонометрии при любом z = х е R : F(х) = sin2 х + cos2 х -1 s 0. Отсюда по теореме единственности F (z) = 0 в С, тем самым справедливость тождества (36) доказана.
ГЛАВА 2 Функциональные уравнения
§ 1. Функциональное уравнение, определяющее показательную
функцию
Рассмотрим функциональное уравнение
f{x + y) = f(x)f(y), (1)
где / определена на числовой прямой R, но неизвестная функция, и изучим свойства его решений.
Задача 1. Пусть функция / (х), тождественно не равная нулю, определена на R и удовлетворяет уравнению (1) при любых х, yeR . Доказать, что
1) f (х) > 0 при всех xeR, т.е. Ef<^R+= (0,оо) ;
1
2) /(0) = 1;
3) /(-*) =
fix)
Решение. По условию задачи функция / при всех х и у удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, уравнение (1) в этом случае становится тождеством, т.е. равенством, которое справедливо при всех х и у из R .
1) По условию существует точка х0 е R такая, что f(x0) Ф 0. Тогда для любого xeR в силу (1) имеем
Я*о) = /(*о“ + ?1 = /
V
/
*0.
Отсюда следует, что / — *0. На основании (1) функцию f(x) представим в
\2у
виде
(^\ (^\ ( ^\
>0.
(X хЛ ( хЛ (хЛ ( х\
•Л- .Л- = / •Л- / •Л- = /2 Л
--1--
^2 2, ^2, ^2,
/0) = /
2) Полагая в (1) у = 0, получим
/(*) = /(*)/( 0). Отсюда / (0) = 1, так как f(x) Ф 0 при всех xeR .
3) В тождестве (1) положим у = —х . Тогда
А0) = 1 = f(x)f(-x) или f(-x) =
/О)
Задача 2. Пусть функция / является на R решением уравнения (1). Доказать, что если:
1) функция / непрерывна в точке х = 0, то она непрерывна в
произвольной точке х е R ;
2) функция / дифференцируема в точке х = 0 , то она дифференцируема любое (натуральное) число раз в произвольной точке х е R .
