Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
Для вычисления 7(+оо) оценим интеграл (11). Поскольку Isinx/х|<1, то при
+со 1
17(_у) I < Г eyxdx = -.
о У
Отсюда следует, что 7(+со) = 0. С учетом последнего равенство (15) при у > 0 принимает вид
i{y) = 7^-Krtgy-
Переходя здесь к пределу при у—>0 + 0, найдем значение искомого интеграла (13)
+f sinx л
1(0)= J---------dx = -.
о х L
Пример 5. Вычислить интеграл Пуассона
+СС 2
1= \ех dx. (16)
О
-х2
Решение. Сходимость интеграла следует из оценки : е <е при х > 1.
В интеграле (16) произведем замену х = yt, где у > 0. Тогда
+СО
I = J у е~у ‘ dt.
О
_ 2
Умножим теперь обе части этого равенства на е у и проинтегрируем по у от 0
до +со :
+00
7 1* 7 .7
dy.
(+со \
/ je~y dy = I2 = je~y j ye у ' dt
о о V о J
Отсюда после перестановки интегралов получим
+¦»+<» 1 +а> —
f * (17) 00 L 0 l-r I Ч
следовательно, искомый интеграл (16)
+<? 2 Л
1= \е-х dx = -.
: 7
о z
Для обоснования законности перестановки порядка интегрирования применим теорему 15.2. Функция /(y,t) = уе~(1+1 )у ограничена, непрерывна и
+со
неотрицательна в замкнутой области у > 0 и t> 0. Интеграл jf(y,t)dt
о
сходится равномерно по у на любом сегменте [c,d] а (0, + оо) на основании
признака Вейерштрасса, так как
уе'у2(и/2>
<dec (i+'} и интеграл
2 2
J d e~c (1+/} dt сходится. Аналогично доказывается равномерная сходимость
о
+оО
интеграла \f(y,t~)dy по параметру t на любом сегменте [а,6] <z (0,+ 00).
о
Повторный интеграл из (17) в силу равенства (17) сходится. Таким образом, выполнены все условия теоремы 15.2.
7. Эйлеровы интегралы. В этом пункте рассмотрим две неэлементарные функции, называемые интегралами Эйлера1. Эйлеровым интегралом первого рода, или бета-функцией, называют интеграл вида
В{а,Ъ) = \ха~х (\-x)b-x dx. (18)
о
В этом интеграле а и Ъ являются параметрами. Если а < 1 и Ь<\, то интеграл В(а,Ь) является несобственным, зависящим от этих параметров.
Подынтегральная функция имеет особые точки х = 0 и х = 1, так как в этих точках она обращается в бесконечность.
Эйлеровым интегралом второго рода или гамма-функцией называют интеграл
+со
Г (а) = J xa~l е~х dx (19)
о
с двумя особыми точками х = О и х = + оо.
Далее установим область определения и некоторые свойства этих функций.
7.1. Гамма-функция
1°. Область определения функции Г (а) есть промежуток (0, + оо).
Для нахождения области определения гамма-функции интеграл (19) представим в виде суммы
1 +со
Г (а) = J хаЧ e~xdx + J хй~' dx = Г, + Г2. (20)
о 1
Интеграл Ц сходится при каждом а> 0 и расходится при а< 0, так как
1
е~\ ха-1 < g-x ха-1 < ха-1 ПрИ о < jc < 1 и интеграл J х“~' dx при а > 0 сходится и
о
при а < 0 расходится. Второй интеграл Г2 сходится при всех а. Это следует, например, из следующей оценки : 0 < е~х ха~1 <се~х/2 при х > 1, с = const > 0,
+со
и из сходимости интеграла J e~x/1 dx = 2e~x/1. Следовательно, интеграл (19)
1
сходится для а > 0 и расходится при а < 0.
