Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 69

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 283 >> Следующая

Y существует несобственный интеграл
1(У) = ]f{x,y)dx.
(7)
В этом случае говорят, что несобственный интеграл (7) сходится на множестве
Y поточечно. По определению несобственного интеграла (7)
(/(х, y)dx = lim f /(jc, y)dx .
J Л-++ CO J
a a
Отсюда следует, что интеграл
F(A, >>)= \f(x, y)dx
(8)
представляет собой функцию от А и у, и при у фиксированном и А—»+оо имеет пределом функцию 1(у).
Определение 3. Если стремление функции F(A,y) к предельной функции 1(у) при А—> + оо происходит равномерно относительно у на множестве Y, то интеграл (7) называют равномерно сходящимся по параметру у на множестве Y.
В силу определения 2 это значит, что для любого е > 0 найдется такое, не зависящее от у , число А0 = А0 (s) > a , что для всех А> А0 неравенство
А
\F(A,y)-I(y)\ =
\f(x,y)dx- \f(x,y)dx
\f(x,y)dx
< ?
будет выполняться сразу для всех у из Y.
Пользуясь общим критерием Коши равномерного стремления функции к предельной функции (см. теорему 1), можно его применительно к данному случаю сформулировать так.
Теорема 9 (критерий Коши). Для того чтобы интеграл (7) сходился равномерно по параметру у на множестве Y, необходимо и достаточно,
чтобы для любого ?>0 нашлось число А0, не зависящее от у, такое, что при всех А’, А” > А0 и для всех у из Y выполнялось неравенство
< ? .
\F(A',y)-F{A",y)\= A]f(x,y)dx
A'
Из данного критерия вытекает следующий признак сравнения.
Теорема 10 (признак Вейерштрасса). Пусть при всех уеУ и всех х,
х>аг>а для функции f(x,y) выполняется оценка: | / {х,у) | < <р(х), где
ср(х) интегрируема на промежутке [<з j, +00). Тогда интеграл (7) сходится
равномерно по параметру у на множестве Y.
Пример 1. Исследовать на равномерную сходимость по параметру интеграл (7) §10:
+<? cos ax .
f —2----2dx, кФ 0. (9)
о к + х
Решение. Интеграл (9) в силу признака Вейерштрасса сходится равномерно относительно параметра а на числовой прямой R, так как при всех х > 0 и a & R :
1
cos ax
к2 +х2
<
к2 +х2
и интеграл от правой части данной оценки сходится.
Рассмотрим интегралы
+со
\f(x,y)g(x)dx, (7а)
0
+о0
\f(x)g(x,y)dx (76)
о
от произведения двух функций, одна из которых зависит от параметра.
Теорема 11. 1. Если интеграл (8) равномерно ограничен, т.е.
существует число К > 0, такое, что при всех А> а и всех у е Y
выполняется неравенство: | F{A,y)\ < К, а функция g(x) ограничена и
монотонно убывая, стремится к нулю при х —> + оо, то интеграл (7а)
сходится равномерно по параметру у на множестве Y.
2. Если функция / (jc) интегрируема на промежутке [а, + оо) и функция
g(x,y) равномерно ограничена для всех х> а и всех у е Y, то интеграл (76)
сходится равномерно на Y.
Пример 2. Исследовать на равномерную сходимость несобственный интеграл
+7 д: sin д:у . , . /-|ОЧ
---rdx, k> 0. (10)
о к + х Решение. Рассмотрим функции
f(x,y) = sin ху; g(x)= Х .
к +х
Функция g(x) при х>0 ограничена, убывает при х >к и стремится к нулю при х —> + со. Далее интеграл
1*4-4,.>01 =
J sin xydx
1 - cos у А 2
1Л ^0
равномерно ограничен при всех А > 0 и | >> | > >>0 > 0. Тогда в силу теоремы 11.1
интеграл (10) равномерно сходится при всех у , | у \ > у^ > 0.
Пример 3. Исследовать на равномерную сходимость
”, _vr sin х ,
\еу -----dx. (11)
О X
Решение. На основании теоремы 11.2 интеграл (11) равномерно сходится относительно у, .у>0, так как функция f(х) = sinjc/х интегрируема на
промежутке [0, + со) (см. пример 4 §10), а функция g(х) = е~ух равномерно ограничена единицей для всех х > 0 и всех у > 0.
3.2. Функциональные свойства
Теорема 12 (предельный переход под знаком интеграла). Пусть функция / (х, у) при у —» у0, где у0 - предельная точка множества Y, стремится к предельной функции <р(х) равномерно относительно х на каждом конечном сегменте [а, А], А> а, и интеграл (7) равномерно сходится на множестве Y. Тогда
+со +со
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed