Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка):
равномерно сходящейся функциональной последовательности переносятся и на функцию, равномерно стремящуюся к предельной функции.
Теорема 1 (критерий Коши). Для того чтобы функция / (х,у) стремилась равномерно на множестве X к предельной функции <р(х) при у —>у0, необходимо и достаточно, чтобы для любого ? >0 существовало
число 8 = 8 (s) > 0, такое, что при любых у',у"еУ, для которых
0<|У-.Уо | и Ocl^" —Iи для всех хеХ выполнялось неравенство
I/O, У')~ fix, у") \<е.
Теорема 2. Пусть функция f {х,у) задана на прямоугольнике Р = {(х, у)\а < х<Ь, с < у <d} и непрерывна на нем. Тогда при любом у0 е [с, d] и у -> у0 функция / (х,у) стремится равномерно по х на [а, Ъ\ к функции f(x,y0).
Теорема 3. Если функция / (х,у) непрерывна по х на сегменте [а, Ь] при каждом фиксированном у из Y и f(x,y) равномерно на [а, Ъ\ стремится к предельной функции (р (х) при у —» у0, то (р (х) непрерывна на [а, Ь].
Теорема 4. Если при каждом фиксированном у ? У функции f (х,у) и f'x(x,y) непрерывны по х на [а, Ь] и при _у -> _у0 функция f (х,у) стремится поточечно на [а, Ь\ к (р (х), а функция f'x(x,y) стремится к
h(x) равномерно на [а, Ь], то функция <р(х) дифференцируема на [а, Ь] и
(р' (х) = h (х)
или
t
( lim / (х, у) 1 = lim f'x (х, у).
V У^У0 У X У^УО
Теперь на основании теорем 1-4 вернемся к изучению свойств интеграла (1), зависящего от параметра у .
2. Свойства собственных интегралов, зависящих от параметра
Пусть промежуток [а, Ь] в этом пункте является конечным.
Теорема 5 (предельный переход под знаком интеграла). Если функция / (х,у) непрерывна по х на [а, Ъ\ при каждом фиксированном у из Y и f(x,y) равномерно на [а, Ь\ стремится к предельной функции <р(х) при у —» у0, то справедливы равенства
b b ь
lim / (у) = lim J / (х, у) dx = J (р (х) dx = J lim / (х, у) dx . (3)
У^Уо У^Уо a a a
Доказательство. Непрерывность предельной функции <р(х) на [а,Ь]
следует из теоремы 3. Поскольку функция f (х,у) равномерно на [а, Ь] стремится к предельной функции ^з(х) при у-*у0, то для любого е >0 существует 8 = 8(e) >0, такое, что для всех у eY, для которых
0 <|У ~.Уо | < 8, выполняется неравенство | f (х,у)-<р(х) | <е одновременно 158
|/(*> y)dx- Jip(x)dx
j[f (x,y)-<p(x)]dx
<
<
о
\\f (x,y)~<P(x)\dx <e(b-d),
из которой в силу произвольности е > О следует справедливость равенства (3). Теорема 6 (непрерывность интеграла по параметру). Если функция
/ (х, у) задана на прямоугольнике Р = {(х,у)\а < х <Ь, с < у < d) и
непрерывна на нем как функция от двух переменных, то интеграл (1) является непрерывной функцией от параметра у на сегменте [ с, d ].
Доказательство. В силу теоремы 2 функция /(х,у) стремится равномерно на [а, Ь\ к функции f(x,y0) при у -»у0 е [с, d]. Тогда на основании теоремы 5
ь ъ
lim I(у) = lim J/(x, y)dx=\ f (x,y0)dx = I(y0) ,
У~*Уо У~>Уо a a
что и требовалось доказать.
Теорема 7 (дифференцируемость интеграла по параметру). Если функции f (х,у) и f'y (х, у) непрерывны на прямоугольнике Р, то функция
1(у), определенная равенством (1), дифференцируема на [с, d] и
I'(y)= \f'y(x,y)dx. (4)
a
Доказательство. Фиксируя любое значение у = у0 е [с, d~\, придадим ему приращение Ay = h так, чтобы у0+he [с, d~\. Тогда
Hy0+h)-I(y0) f(x, y0+h)- f (х, Уо) ^
h ! h Интеграл в правой части равенства (5) зависит от параметра h. Докажем, что здесь при h -> 0 допустим предельный переход под знаком интеграла. В силу формулы Лагранжа из (5) получим
/ (у, + К) -Ну,) = 1 + в h) ^' (в)
я
где 0<9<\. Поскольку функция fy(x,yo+0h) непрерывна на Р, то она
стремится равномерно на [а, Ь] к функции fy(x,y0) при h-> 0. Тогда в
равенстве (6) допустим предельный переход при /г-» 0. Отсюда и следует дифференцируемость функции I (у) в точке у0 и справедливость равенства
(4).
Теорема 8 (интегрируемость интеграла по параметру). Если функция / (х,у) непрерывна на прямоугольнике Р как функция от двух переменных, то функция I{у) интегрируема на сегменте [с, d] и имеет место формула
\l(y)dy=\ J f(x,y)dx dy=\ J f(x,y) dy dx.
с c \ a J a \ с J
3. Несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра
3.1. Равномерная сходимость. Пусть функция f(x,y) определена при всех х > а и всех у из некоторого множества Y с R . Пусть при каждом у из
