Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Сабитов К.Б. -> "Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения " -> 67

Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения - Сабитов К.Б.

Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения — М.: Высшая школа, 2005. — 671 c.
ISBN 5-06-004759-8
Скачать (прямая ссылка): funkcionalnieuravneniya2005.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 283 >> Следующая

Пусть в односвязной области G с R3 задано непрерывно дифференцируемое векторное поле a = (P,Q,R), у - замкнутый контур, лежащий в G . Тогда криволинейный интеграл
jPdx + Qdy + Rdz = <f(a, dr),
г г
где dr = (dx, dy, dz) = idx + jdy + kdz, называется циркуляцией векторного поля а вдоль контура у.
Рассмотрим в области G кусочно-гладкую поверхность S с границей (краем) у, т.е. dS = у. В этом случае говорят, что поверхность S натянута на контур у.
Теорема 2. Циркуляция векторного поля a = (P,Q,R) вдоль контура у = dS равна потоку векторного поля rot а через поверхность S, натянутую на контур у, т.е.
<j(a, dr) = JJ(rota, n)dS (27)
У S
или
<jP dx + Qdy + Rdz =
У
= \\[{Ry-Q2)^sa + {P2-Rx)cosP + {Qx-Py)cosy}dS. (28)
Формула (27) или (28) называется формулой Стокса1 .
Теорема 3. Пусть а = (Р, Q,R) - непрерывное векторное поле в
односвязной области G с R3. Тогда следующие три утверждения эквивалентны между собой.
1. Криволинейный интеграл
<jp dx + Qdy + Rdz = О
г
по любому контуру у с G.
2. Криволинейный интеграл
jPdx + Qdy + Rdz
L
не зависит от вида кривой L, соединяющей точки M0(x0,y0,z0) и M(x,y,z) области G, а зависит только от положения этих точек.
3. Векторное поле а потенциально, т.е. существует функция U(x,y,z), такая, что a = gradf/, т.е. Ux-P, U у = Q, U 2 = R и
dU = Рdx+ Qdy + Rdz.
В этом случае для любых точек М и М0 из G и любой кусочно-гладкой
кривой L , соединяющей в G эти точки,
и
JPdx + Qdy + Rdz - $Pdx + Qdy + Rdz = U(M)-U(M0). (29)
L M0
Теорема 4. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое в односвязной области G векторное поле a = (Р, Q, R) было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы rota = 0 в G, т.е. всюду в G выполнялись равенства:
Ry-Qz = о. P,-Rx = о, Qx-Py= о. (зо)
Из этих теорем при выполнении условий (30) в области G потенциал векторного поля a = {P,Q,R) на основании равенства (29) определяется по формуле
(х,у,г)
U(x,y,z)= jPdx + Qdy + Rdz+ С , С - const.
(•^О’Д'о^о)
§ 22. Интегралы, зависящие от параметра. Эйлеровы интегралы
Пусть функция двух переменных f(x,y) определена для х, принадлежащих конечному или бесконечному сегменту [а, Ь] (т.е.
1 Стокс Дж. (1819- 1903) - английский математик и механик.
156
-оо < а < х <b < +00), и для у , принадлежащих некоторому множеству Y cz R . Пусть при каждом фиксированном у из Y функция / (х,у) интегрируема в собственном (по Риману) или несобственном смысле на промежутке [а, Ь]. Тогда на множестве Y определена функция
I(y)= \f(x>y)dx, (1)
а
называемая интегралом, зависящим от параметра у .
Относительно функции I (у) возникают следующие вопросы: а) о существовании и выражении ее предела; б) об ее непрерывности и интегрируемости; в) об ее дифференцируемости и выражении для производной Г (у) . Всем этим вопросам и посвящен данный параграф.
1. Равномерное стремление функции к предельной функции Пусть у0 из R - предельная точка множества Y.
Определение 1. Если при каждом х в X = [a,b\ существует конечный предел
lim f (х,у) = <р(х), (2)
У^Уо
то говорят, что функция / (х,у) поточечно стремится к функции <р(х) на множестве X при у, стремящемся к у0.
Определение 2. Если при каждом х е X существует конечный предел (2) и для любого ? >0 существует 8 = 8 (е) > 0, такое, что для всех у е Y,
для которых 0 < | у — у01 < 8, выполняется неравенство | / (х, у)-(р(х) | < е сразу для всех х из X, то говорят, что функция f (х,у) стремится к предельной функции ф (х) равномерно относительно х на множестве X при у, стремящемся к у0.
Замечания. 1. Отметим, что определение 2 нетрудно перефразировать и на случаи, когда у0 = + оо. Например, при у0 = + °о, неравенство | у - у01 < 8
заменяется неравенством вида у >8. 2. Приведенные понятия являются обобщением понятий поточечной и равномерной сходимости функциональной последовательности. Действительно, в частном случае, когда множество Y является последовательностью точек {уп} и функцию f (х,у)
можно рассматривать как функциональную последовательность /« С*) = /(х’ Уп)' заданную на X. В связи с этим отметим, что утверждения о
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 283 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed