Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим еще, что в случае /jt=l, р„=0 (А^> 1) формула (8.6) дает нам производящую функцию простейшего потока с параметром к:
F(t, *) = »«M=J {e-*®w}x*'
*=о
Глава 3 ФУНКЦИИ ПАЛЬМА
§ 9. Определение и доказательство существования
После того как в конце предыдущей главы мы полностью выяснили строение стационарных потоков без последействия, мы должны теперь обратиться к исследованию потоков более общего типа. Для довольно широких классов таких потоков весьма удобным орудием исследования оказалась одна функция, введенная Пальмом [8] и примененная им с успехом к решению ряда задач. Пальм определяет эту функцию ф, (f) (для любого стационарного потока) как условную вероятность отсутствия вызовов в промежутке (*•» если известно, что в момент tt произошел
вызов. Однако такое определение вряд ли можно считать достаточно удобным; то условие, при котором должна быть вычислена вероятность <p0 (t), т. е. наличие вызова в некоторый момент само имеет во всех актуальных случаях вероятность 0, и это обстоятельство, как известно, не позволяет нам непосредственно определить функцию <р0 (t) для заданного потока с помощью известных правил расчета условных вероятностей. Поэтому мы дадим этой функции другое, более сложное определение, которое позволит однозначно определять ее для любого стационарного потока. Вместе с тем мы определим не одну функцию, а целую последовательность <рА(*) (6=0, 1, 2,...) функций, которые будем называть функциями Пальма и которые в дальнейшем окажутся нам полезными при решении ряда важных задач.
Пусть мы имеем два последовательных промежутка времени, из которых первый имеет длину т, а второй — t (в дальнейшем мы будем для краткости называть самые эти промежутки соответственно «промежутком т» и «промежутком <»). Обозначим для данного стационарного потока через Нк(т, i) (k^sO) вероятность следующего двойного события:
1) в промежутке т произойдет по меньшей мере один вызов;
2) в промежутке t произойдет не более k вызовов. Эти два события, вообще говоря, будут взаимно зависимы; так как вероятность события 1) в наших старых обозначениях есть да(т), то отношение
Hk(x> ft /о i\
ш(т) 1 • '
выражает собою условную вероятность события 2) при условии, что имело место событие 1), т. е. вероятность появления не более k вызовов в промежутке t при условии, что в промежутке т появился по меньшей мере один вызов.
Если это отношение при т—>О (и при постоянном f) стремится к некоторому пределу, то этот предел естественно называть условной вероятностью появления не более чем k вызовов в промежутке t при условии, что в начальный момент этого промежутка произошел вызов.
Убедимся теперь, что предел отношения (9.1) при т—>О (и постоянном i) всегда существует, если только данный стационарный поток имеет конечный параметр X. С этой целью рассмотрим сначала отношение Hk(т, t)jt. Чтобы доказать существование предела этого отношения при т—>О, достаточно убедиться, что величина Нк(т, i) как функция от т удовлетворяет всем предпосылкам леммы § 7. Неотрицательность и монотонность этой функции самоочевидны. Пусть т=т, 4-т, и промежуток т, предшествует промежутку т2. Тогда, если выполнено то двойное событие, вероятность которого мы обозначили Нк(т, t), то, очевидно, выполняется по меньшей мере одно из следующих двух событий:
(A) В промежутке т, имеется по меньшей мере один вызов, в промежутке t имеется не более k вызовов [вероятность события (А) равна Hk (т4, t)].
(B) В промежутке т, имеется по меньшей мере один вызов, в промежутке та-{~^ имеется не более k вызовов
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ 45 [вероятность события (В) равна
(так как при фиксированном т, Нк (т, t), очевидно, есть невозрастающая функция от *)]• Таким образом, мы находим
т. е. функция Нк(т, f) удовлетворяет (относительно т) и последней предпосылке леммы § 7. Применяя эту лемму, мы находим, что отношение Нк (т, f)\x при т —> 0 стремится к некоторому пределу или безгранично возрастает; однако последний случай исключается, так как, очевидно, всегда Нк{т, t) ^да(т), а отношение w (т)/т по нашему предположению стремится к конечному пределу Я.
Наконец,
Нк(т, t) _.//»(*. Oft .
W (т) w (т)/т ’
числитель и знаменатель этой дроби по доказанному стремятся при т—>-0 к определенным пределам; поэтому и
существует; разумеется, этот предел является функцией от Положим теперь
А.(т, t) = Ht{x, f), hk(x, t) = Hk{x, i) (*>0);
очевидно, hk(x, /) есть вероятность того, что 1) в промежутке х имеется по меньшей мере один вызов и 2) в промежутке t имеется ровно k вызовов; отношение hk{х, 0lw(^) представляет собой условную вероятность иметь k вызовов в промежутке t при условии, что в промежутке т имеется по меньшей мере один вызов. Из (9.2) следует
Полагая
<Ро(0=Ф.(0, ф*(0=Ф*(0—Ф*-,(0 (*>0). мы имеем
