Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
то же самое должно иметь место хотя бы для одного из двух промежутков (0, tx) и (*,, tl -f- tt), откуда
• (/, + <,)<•(<,) + •(<,) (*t>0, ',>0,
таким образом, и эта последняя предпосылка оказывается выполненной. Применяя лемму, мы видим, что теорема доказана.
Если данный стационарный поток есть поток без последействия, то для него, как мы это показали в § 2, мы имеем
vQ (t) = e (Х^>0 постоянная),
за исключением случаев, когда в любом промежутке времени либо с достоверностью вовсе не поступает вызовов, либо с достоверностью поступает бесконечное множество вызовов; эти два случая, как не имеющие практического значения, мы условились выше исключить из рассмотрения. Отсюда для потока без последействия
«>(1) = 1—е~и, lim ЩР- = Х;
предел, существование которого мы доказали в последней теореме, в случае потока без последействия всегда есть, таким образом, некоторое конечное положительное число. Но если допустить возможность последействия, то Я может обращаться в -|-оо и в случаях, не исключенных нами из рассмотрения.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим следующий пример стационарного потока. Вообразим себе простейший поток, параметр Я которого представляет собой случайную величину, распределенную по некоторому закону F(x) [/гЦ-0) = 0, F(+ о°)=1]. В конце § 6 мы определили вероятность си* стемы равенств x(tt)=ki(\ «s z л) для простейшего потока с данным значением параметра Я; будем теперь для краткости обозначать эту вероятность через Рх(/;, к{). Если параметр Я есть случайная величина, распределенная по закону F(x), то вероятность системы равенств х (tt)~ s=kt{\ sS/sgn) будет (по формуле полной вероятности) равиа
00
Р V/, *i) = $ Р* Vh kt) dF(Я). (7.6)
»
Эта вероятность определена, таким образом, для любых п, tt, kt\ а это, как мы знаем, означает задание определенного потока; этот поток будет, очевидно, стационарным; но, вообще говоря, он будет потоком с последействием. Если w(t) и vk(f) имеют обычное значение для потока (7.6), а С0ь(1) и означают те же величины для простейшего
потока с параметром Я, то мы, очевидно, имеем
00
w(t) = ^Wx(t)dF(K)
Ь
Wx(i) — —
откуда
4f^]-LzfLdFa).
Если »
00
$Я^(Я)<+ оо
о
[т. е. закон F{x) имеет конечное математическое ожидание], то в силу неравенства 1 — е~и Я/ мы получаем
2^<|ЯЛР(Я);
О
2 А.Я. Хинчии
отношение при I—> 0 ограничено, и рассматриваемый
нами поток имеет конечный параметр. Но если интеграл
\\dF(X)
(7.7;
расходится, то —> -}*оо при t—>О. В самом деле,
пусть е^>0 произвольно мало и А столь велико, что
А
jXdf(X)> 1;
О
тогда в силу
А *
W(t) _ Г 1 —е~и
Т* dF(\)-+^\dF{\) (* —0)
мы имеем
я значит, w[f)Jt—>-f-oo при t—> (). Таким образом, в случае расходимости интеграла (7.7) наш поток имеет бесконечное значение параметра. Вместе с тем этот поток с вероятностью 1 дает конечное число вызовов в любом конечном промежутке времени; мы имеем
00
«*(*> — $«*. (t)dF(K),
или, так как Vkx (()=“«'к1 (lt)*/kl,
§ 8. ОБЩАЯ ФОРМА СТАЦИОНАРНОГО ПОТОКА БЕЗ ПОСЛЕДЕЙСТВИЯ 35
§ 8. Общая форма стационарного потока без последействия
Как мы видели в главе 1, стационарный поток без последействия, если он сверх того обладает еще свойством ординарности, есть простейший поток, общая структура которого легко может быть установлена. Теперь мы поставим себе задачу найти общий вид стационарного потока без последействия, отбрасывая требование ординарности.
Как мы видели в § 6, стационарный поток без последействия однозначно определяется заданием функций vk(/) (6=0, 1, 2, ...) [причем всегда к,(*) = е-И]. Поэтому наша задача сводится к определению общего вида семейства функций vk (t) для стационарных потоков без последействия. С этой целью мы прежде всего установим, что для любого такого потока при любом ?^>0 отношение vk(f)ji при I—<-0 стремится к определенному пределу, который может быть либо нулем, либо положительным числом.
Обозначим через tyk(t) (? = 0, 1, 2, ...) вероятность того, что в промежутке длины t произойдет по меньшей мере k вызовов, так что для 6 = 0, 1, 2, ...
СО
¦*(0= 2 МО. **(0=iM0—ъ+ло,
i=k
¦.(0 = 1. ¦»(*)—« (0. Ч>, (0=4»(0-
В § 7 мы доказали, что для любого стационарного потока отношение i|), (t)jt при i—>-0 стремится к определенному пределу, конечному или бесконечному. В случае потока без последействия этот результат является тривиальным, так как i|)1(0=w(0 = l—е , откуда при t—>О. Но
