Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Определение и постановка задачи
Простейшим мы будем называть поток однородных событий, если он обладает следующими тремя свойствами.
1° Стационарность. Каковы бы ни были f^>0 и целое k^sO, вероятность того, что за промежуток времени (а, а 1) произойдет k событий, одна и та же для всех а ^ О (и, значит, зависит только от k и t); будем во всем дальнейшем обозначать эту вероятность через vk (i). На протяжении всей книги мы будем иметь дело только с такими потоками, в которых за конечный промежуток времени с вероятностью 1 происходит лишь конечное число собы-
00
тий. Мы будем, таким образом, всегда иметь 2
*=о
при любом t. Стационарность потока выражает собой неизменность его вероятностного режима во времени.
2° Отсутствие последействия. Вероятностьvk(t) наступления k событйй за промежуток времени (a, a -f-1) не зависит от чередования событий до момента а; другими словами, условная вероятность наступления k .событий за промежуток времени (а, л —<), вычисленная при любом предположении о чередовании событий до момента а, равна безусловной вероятности vk (t) того же события. Отсутствие последействия выражает собой взаимную независимость протеканий потока в иепересекакмцихся между собой промежутках времени.
3° Ординарность. Пусть для данного стационарного потока ф(0 означает вероятность того, что за (где угодно расположенный) промежуток времени длины t наступит по
меньшей мере два события ^очевидно, ф (0 = 1 — v0 (t) — 00 1
— t>,(i)=2 vk (01 • Тогда мы имеем *(f) = о(0 (*-*0),
или, что то же,
Ш-+о (/—0).
Как мы увидим далее, ординарность потока выражает собой практическую невозможность совмещения двух или более событий в один и тот же момент времени.
Итак, простейшим потоком однородных событий мы называем всякий стационарный ординарный поток без последействия.
Основная задача теории простейшего потока состоит в определении вида функций vk (t); иначе говоря, целью нашей будет отыскание закона распределения числа событий за промежуток времени длины t, рассматриваемого как случайная величина. При этом мы ради определенности реальной интерпретации изучаемого потока будем во всем дальнейшем- предполагать, что речь идет о потоке вызовов, поступающих на некоторую телефонную установку, и в соответствии с этим называть наши однородные события «вызовами».
Разобьем промежуток времени (0, 1) на произвольное число п равных промежутков длины 1/л. Вероятность того, что в какой-либо из этих частей не произойдет ни одного вызова, равна ®в(1/я); а так как наш поток — без последействия, то
Если мы имеем промежуток длины kjn (k—\, 2, ...), то
Пусть, наконец, t — любое положительное число и пусть натуральное число k определяется из неравенств
так как г», (<)» очевидно, есть невозрастающая функция от t, то
§ 2. Элементарное решение
или, полагая v0 (1) =
он разбивается на k промежутков длины -i-, вследствие чего
k- 1
k
п
или, в силу (2.1),
А-1
Ьп >ф,(0>о»; h
но при я—»оо мы имеем ——-t, вследствие чего крайние члены написанных неравенств стремятся к 1‘, и мы находим
МО=0*
для любого <^>0. При этом постоянное число 0 нами определено как г/0(1), и следовательно, O^Os^l. Однако случаи ()=0 и 0=1 не представляют интереса, и мы можем их не рассматривать. В самом деле, при 0=1 мы имеем ®0(<)=1 при любом f^>0, что означает достоверное отсутствие вызовов в любом промежутке времени, т. е. отсутствие какого бы то ни было потока. Если же 0 = 0, то vo(/) = 0 при любом t^>0; это означает, что вызовы с достовгрностыо будут получены в любом, сколь угодно малом промежутке времени; но тогда, сколь бы велико ни было k, число вызовов в любом промежутке с достоверностью будет больше, чем k\ другими словами, число вызовов в любом промежутке бесконечно с вероятностью 1; но такие потоки мы в § 1 раз навсегда исключили из рассмотрения. Итак, мы можем считать, что 0<в<М; поэтому можно положить 0 = е~\ где Я — постоянное положительное число, и писать
vt{t) = e~u. (2.2)
Отметим, что при этом выводе мы нигде не пользовались ординарностью нашего потока, так что соотношение (2.2) имеет силу для любого стационарного потока без последействия; это замечание будет для нас важно в дальнейшем.
Теперь обращаемся к отысканию функций ®*(0 при Существует много различных способов решения этой задачи, и почти все они поучительны, так как заложенные в них методы позволяют решать и ряд более сложных задач. Мы начнем с наиболее элементарного способа. Будем считать чи ло t постоянным и разобьем промежуток (0, /) на произвольное число равных частей (ячеек) длины Цп=Ъ.
Относительно расположения вызовов в этих ячейках возможны две гипотезы:
Я, — ни в одной из я ячеек не будет более одного вызова;
Нг — по крайней мере в одной из ячеек произойдет более одного вызова.
