Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
X
1пг>,(т, 0 = — l^(t-\-u)du — — Л(т, t)i vt(т, =
В стационарном случае мы имели показателем — А,т; в общем случае, как мы теперь видим, нужно заменить Я величиной
Т
-J-A(t, 0=7^Я(* + и)</и,
о
которую естественно рассматривать как среднее значение «мгновенного параметра» Я(0 в промежутке (t, <-)-т).
Переходя теперь к случаю ft 0, мы аналогично предыдущему [см. § 3] при Дт—>-0 и постоянных t, т легко находим
vk (т + Ат, 0 = (т, 0 (Дт, t+т) +
+ ®*-i(t, 0®,(Лт, ^+т) + о(Ат),
где
®„(Дт, t-}-т) = 1 — Я(/-{-т) Дг-|~о(Дт)
и
«,(Дт, / + т)= 1 —®,(Дт, <+т) — ч|>(Дт, /+.т)=
== Я (* т) Дт + о (Дт),
так что
«*(т + Дт, о[1 — Х(*+т)Дт] +
+vk-1 0 * (< ¦+ т) А*+0 (Дт)*
откуда
р*(т+Дт^~Р*(Т>0==М< + т) К_, (т, t) - vk(x, i)] + 0(1),
и следовательно, в пределе
И-т) К_, (т, t)-vk(т, *)]• (5.3)
Это соотношение, доказанное нами для любого О,
остается, как показывает (5.2), верным и при ? = 0, если
положить
»_,(*, 0 = 0.
Мы найдем нужное нам решение системы (5.3), применяя метод производящих функций. Положим
F(t, х,x) = '2lvk(T,t)xk.
Л=0
Умножая все члены уравнения (5.3) на хк и суммируя по к от 0 до оо, мы находим в точной аналогии с § 3
^ = (х_1)Я(*+т)Л
или
ТГ«(*-ПМН-*>.
откуда
т
In F(t, т, х) — In F(t, 0, x)=sz(x— 1) ^ %(t-\-u)du*=s
=(*—1)Л(т ,t). (5.4)
При любых х и t мы имеем
F(t, О, *) = *>„ (0, поэтому (5.4) дает
F(t, т, *) = <К* - •>А # = е ~ А <*• #)«*А <т* 0 =
и сопоставление с определением функции F(t, т, х) дает
Vft(T,0=e-A^»[A%<)Lft(fe = 0) 1,2, ...). (5.5)
Эти формулы полностью решают поставленную задачу. Мы видим, что и для потока с переменным параметром число вызовов в промежутке (t, tf-f-т) подчиняется закону Пуассона; однако параметр этого закона теперь зависит не только от длины т данного промежутка, но и от его начального момента t. В случае стационарного потока мы имели закон Пуассона с параметром Ят; при переходе к нестационарному случаю мы должны, как видим, заменить постоянное число Я. выражением
О
т. г. средним значением Я(х) в промежутке
Обратно, если функция Я (лт) = Я есть постоянная величина,
то, очевидно, прн любом t
Л(т, *) = $ h(t-\-u)du=Kx
о
и формулы (5.5) переходят в решения, полученные нами в § 3 для стационарного случая.
Заметим, наконец, что число вызовов в промежутке (/, *-f-T)> подчиняясь закону Пуассона (5.5), имеет своим математическим ожиданием параметр этого закона, т. е. величину
<+т
Л (т, 0 = J X (и) du; t
поэтому величину ^-Л(т, t) можно понимать как среднюю
интенсивность нашего потока в промежутке (t, t т); предел же этой величины прит—> 0 есть мгновенная интенсивность ц(*) данного потока в момент t; мы находим
H(*) = lim ^-Л(т,
т-М * т-*о
Таким образом, и в случае простейшего потока с переменным параметром мы имеем совпадение мгновенной интенсивности потока с мгновенным значением параметра.
Глава 2
ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКОВ *)
§ 6. Поток вызовов как случайный процесс
Как мы уже говорили в начале главы 1, потоки вызовов, с которыми мы встречаэмся на практике, во многих случаях могут с достаточно хорошим приближением рассматриваться как простейшие; при изучении таких потоков поэтому обычно пользуются теми результатами, которые получены нами в главе 1. Однако в последние годы, когда усложняющаяся практика ставит перед наукой задачи все более сложные и требующие все более точного решения, встала настоятельная необходимость изучения потоков более общего типа. Непосредственных поводов для такого расширения изучаемой области имеется в основном два.
С одной стороны, статистика потоков вызовов даже в самых обычных условиях при возрастающей точности показывает, что выводы, основанные на предположении простейшего характера потока, недостаточно хорошо согласуются с опытными данными; можно без труда и теоретически предвидеть необходимость такого рода расхождений: нетрудно сообразить, например, что в действительности почти всегда следует ожидать в изучаемом потоке известного последействия и что не всегда этим последействием можно пренебрегать.
С другой стороны, имеются и такие случаи, когда изучаемый поток заведомо и принципиально отличается от простейшего; таковы все виды потоков переменной интенсивности (они не стационарны, см. § 5); таковы же и потоки, поступающие на вторую, третью, и т. д. линию «полнодоступного пучка», даже в том случае, когда на nejpeyio линию поступает простейший поток; все эти потоки обладают значитель-
