Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
*) Естественным продолжением результатов настоящей главы являются работы А. Я. Хиичина «Потоки случайных событий без последействия» и «О луассоновских потоках случайных событий», помещенные в настоящей книге (стр. 170 и 190). — Б. Г.
ным последействием, возрастающим с номером линии, и учет этого последействия обязателен для теории (см. гл. 8). Поэтому современные исследовании по теорин массового обслуживания не могут ограничиться рассмотрением простейших потоков и вынуждены расширить в той или другой мере исходные предпосылки.
Переходя к исследованию потоков более общего типа, мы должны в целях строгости и недвусмысленной ясности изложения начать с точного определения основных понятий; мы не сделали этого в главе 1, так как рассматривали эту главу как вводную, имеющую целью на простейшем примере показать характерные для всей теории потоков образцы применяемых в ней математических методов.
Если мы обозначим через лг(<) число вызовов, поступающих за промежуток времени (0, t), то для каждого фиксированного значения x(t) представляет собой случайную
величину. При переменном t, х (t) представляет собой однопараметрическое семейство случайных величин, которое называют случайным процессом или случайной функцией. Для функции x(t) характерно то, что она: 1) может принимать только целые неотрицательные значения и 2) с возрастанием t никогда не убывает. График такой функции
поэтому, независимо от случая, всегда имеет форму «лестницы», изображенную на рис. 1.
Для задания любого случайного процесса x(t) как такового надо, чтобы для любой конечной группы положительных чисел tt, ..., tn был задан «-мерный закон распре-
деления вектора
*(^i)i % (^»)> • • •* х(*„).
Если процесс x(t) представляет собой поток вызовов и, следовательно, x(t) может принимать только целые Неотрицательные значения, то для задания этого потока как случайного процесса надо задать для каждой группы положительных f,, tt,..., tn и каждой группы целых неотрицательных чисел ?„ kt, вероятность системы равенств х(tx) = kx,
х (tt) = kt, ..., х (<„) = kn\ очевидно, эта вероятность может быть отличной от нуля только в том случае, если при
• •<!*» мы имеем и kx < kt <... < kn. В частности (я=1), для любого 0 и любого целого неотрицательного k должна быть известна вероятность равенства x(t) — k, которую мы в главе 1 обозначали через vk (/) *). Таким образом, система функций ©й(0(*=0, 1, 2, ...) входит как обязательный элемент в состав описания каждого потока вызовов. В общем случае, однако, задания этой системы функций для полной характеристики потока еще недо:таточно.
Поток вызовов называется стационарным, если при . .<С*» и ПРИ любом положительном а закон распределения вектора x{t,) совпадает с зако-
ном распределения вектора х (а <*) — х (а) (1 < / < я); иначе говоря, закон распределения вектора — *(а)
(1 sg г sg я) зависит от чисел t{, но не зависит от а. В частности (л = 1), vk(t) для стационарного процесса означает вероятность поступления к вызовов в промежутке (а, а-f-Ot r^e произвольно, т. е. в любом промежутке
длины t **).
Данный поток вызовов называется потоком без последействия, если закон распределения вектора
*) Необходимо, впрочем, отметить, что в главе 1 vk (t) (в силу предположенной стационарности потока) означало вероятность поступления k вызовов в лкбом промежутке времени длины t, в то время как здесь речь идет лншь о промежутке (Э, t).
**) Для читателя, знакомого с теорией случайных процессов, заметим, что определенный такнм образом стаиионарный поток вызовов не является, конечно, стационарным случайным процессом в общепринятом смысле этого термина. В теории случайных процессов наш стационарный поток принадлежит к числу «процессов со стационарными приращениями».
— *(а) (^>0, 1 «Si<^п) при любом а3*0 не зависит от значений величины х (0 при каких-либо значениях t<^a. Это определение, очевидно, в точной форме выражает то требование, чтобы случайное течение потока вызовов после какого-либо момента времени а было независимым от его течения до момента а; но в этом и состоит отсутствие последействия в понимании теории вероятностей.
Легко видеть, что стационарный поток без последействия полностью характеризуется системой функций vft(/)(A = 0, 1, 2, ...), т. е. законом распределения числа вызовов, поступающих в течение (где угодно расположенного) промежутка времени длины t. В самом деле, так как система равенств
очевидно, равносильна системе равенств
*(*,) — — kf_, (1 ^!^л),
где для общности положено tp = kt = x (/,) — 0, то (обозначая через Р { } вероятность события, помещенного в фигурных скобках) мы будем иметь
Р W =
= P{* U|) — X (*,_,) = kt — k,_xt К / < я};
так как промежутки (/,, <,), (/,, *,), ..., (/„_,, tn) взаимно не перекрываются, то отсюда в силу отсутствия последействия
Р 1^/^я}^3
=Пр ==*i-W.
