Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
(А=0, 1’ 2’
Функции фk(t) мы и будем называть функциями Пальма. Функция <рл (t) может быть понимаема как вероятность иметь к вызовов в промежутке длины t при условии, что в начальный момент этого промежутка произошел вызов. Этим она отличается от функции vk(t), представляющей собою вероятность того же события при условии, что относительно начального момента ничего неизвестно. Проведенное нами рассуждение показывает, что вся совокупность функций Пальма однозначно определяется для любого стационарного потока с конечным параметром к.
Заметим еще, что так как Нк (т, t) относительно t есть функция невозрастающая, a w(x) от t не зависит, то все функции Фй(/) [в частности, функция Ф0 (<)=<р# (*)]—невозрастающие в области 0
§ 10. Формулы Пальма
Функции Пальма связаны с основными функциями vk(t) данного стационарного потока простыми и важными формулами, которые нам предстоит теперь вывести.
Допустим, что данный стационарный поток — ординарный и имеет конечный параметр к. Рассмотрим снова промежуток времени длины т-{~/, составленный из «промежутка т» и непосредственно следующего за ним «промежутка Ь. Обозначим через л, и л, соответственно числа вызовов в промежутках т и / (л4, л, — случайные величины). Мы имеем, очевидно,
к
®*(т + 0 = Р{«,+я, = М=2 Р{«|=Л nt—k— г},
г=о
откуда в силу ординарности данного потока при т—> ()
«*(* + 0 = Р{л, = 0.л. = *}+ , ,
+ Р{л,= 1, nt = k — 1} -j- о(т). (10.1)
Но
Р{л1=0, nt=k) = P {л, = &} — Р {л,>0, nt — k} =
=vk(t)-hk{x,t), (10.2)
где мы пользуемся обозначениями § 9. С другой стороны, Р{л, = 1, nt = k — 1} = р{л,>0, nt = k~\}~
— Р{л,> 1, nt = k-l} = hk_l(T,t) + o{T). (10.3)
§ 10. ФОРМУЛЫ ПАЛЬМА 47
Вставляя (10.2) я (10.3) в (10.1), находим
U + т) = «'*(0 — А*(т, 0 + А*-. (*. О + о(т),
откуда
р»(т + 0 —(t,Qg(t) <)ai(T) . ...
т к> (т) т ю (t) т “т” '
В силу результатов § 9 отсюда вытекает дифференцируемость функции vk(f) и соотношение
(0-=Х [ф*_, (0 — ф* (/)] (*>0); (10.4)
при 6=0 это же рассуждение дает
*;(*)=—ЯфДО, (Ю.5)
так что соотношение (10.4) имеет место и при k=0, если положить ф_,(0 = 0- Складывая соотношения (10.4) для 6=0,1... ,т и обозначая через
V.W—S «*(0
*=о
вероятность иметь в промежутке длины t не более т вызовов, мы находим
?.(*)«= —*Ф. (О (« = 0,1,2,...). (10.6)
Формулы (10.4) и (Ю.6) и были целью нашего вывода [у Пальма имеется лишь формула (10.5)]. Эти формулы иногда удобнее применять в интегральной форме. Интегрируя обе части (10.6) от 0 до i мы находим
t
V.(+0)-V.(0 = *$<P. («)<*« (« = °. 1.2,...),
НО
v.(+o)-i;
в самом деле, мы имеем
v*(+0»M+0)=i>.(+0)=i-W(+0):
а так как, при t—>О, w(t)jt—>Я, то «/(-(-0) = 0. Итак, мы находим для любого О
1-^«(0 = А,$фя(й)^и («=0, 1,2, ...), (Ю.7)
О
откуда легко вытекает
t
v0(t)=\ —xl%(u)du;
О
t
(0 = * S [Ф*-1 («) — ъ («)1dtt (*=1,2,...).
1
(10.8)
Эти формулы просто и непосредственно выражают функции vk(t) данного потока через функции Пальма <pft(t).
§ 11. Интенсивность стационарного потока.
Теорема Королюка
В § 4 мы условились называть интенсивностью ft данного стационарного потока математическое ожидание числа вызовов в единицу времени; в силу аддитивности математических ожиданий мы имеем тогда, что математическое ожидание числа вызовов в промежутке длины t для стационарного потока пропорционально t, т. е.
2 kvk(t)=pt.
ftst
Там же мы убедились, что всегда ft ^ X, а для простейшего потока fi=X.
В работах прикладного характера совпадение параметров ft и Я обычно принимается как самоочевидный факт, не требующий даже оговорки, при исследовании стационарных потоков самого общего типа. Ввиду практического значения этого допущения представляется важным разобраться в его предпосылках и дать ему строгое обоснование там, где это возможно.
Остановимся сначала на случае стационарного потока без последействия. В § 8 мы видели, что для потоков этого рода
производящая функции
Н*,*)=2 МО** k—й
имеет вид
?*.f[<t>(X) -llt
00 00
где Я>0, Ф(х)=^р,х1, р,^ О (/=1,2,...), 2/>/=!• i=i i=i
Так как, очевидно,
