Работы по математической теории массового обслуживания - Хинчин А.Я.
Скачать (прямая ссылка):
¦rt.W<tWfr+.W-
Для доказательства леммы достаточно поэтому убедиться что Fr+l(u)—*-0 при и—><).
Пусть а>0 столь велико, что 1|>г(а)>0. Пусть х>0 произвольно мало и п таково, что (п—1) х<^а^пх. Условимся называть «ячейками» отрезки [(/г— 1)дт, kx\ (1 s^k^rt). Если ir<C_nx и zr+1 <С_х, то моменты tr и ir+1 лежат либо в одной ячейке, либо в двух соседних ячейках, так что по меньшей мере один из п отрезков
1(/-1)*,(/+1)х] (/=1,2, ...,я)
длины 2 х содержит более одного вызова. Поэтому
Р {*, < пх, гг+, < * } = if, (л*) ^,+. (*) < (2дс) =
= 2nx^<2(a + x)tlg? f
откуда при х а
F <г\ г-2(а + х)^(2дг) 4a i|>, (2х) Q
*,(«) 2х ^1р,(а) 2х
при х—>-0 в силу ординарности данного потока. Этим завершено доказательство нашей леммы.
3. Переходя теперь к доказательству теоремы, убедимся
прежде всего, что Ft (0 = 1 — Фо (0- С этой целью рассмотрим введенную нами в главе 3 вероятность й0 (т, 0 того, что в некотором промежутке длины т вызовы имеются, а в последующем за ним промежутке длины t вызовов нет. Если число вызовов в промежутке т равно k, то из отсутствия вызовов в промежутке t следует вероятность чего
есть 1-^+. (0; поэтому
К (т, 0 < J»* (т)[1- Рл+1 (0] < (т)[1—F| (0] + ¦. (т).
С другой стороны, при том же условии (k вызовов в промежутке т) из **+,>*+* следует, что в промежутке t вызовов нет, поэтому
А. (т, 2 W11 - Fk+x V + *)] > «1W11 ~ ^ (<+*>]•
к=1
Таким образом,
г\ (т) [ 1 — Ft {t + т)] < h0 (т, 0 (т)[1 — Ft (0] +(т).
Деля все части этих неравенств на ад(т) и замечая, что при т—*-0
Mr) 1 ЫЕ>_о т /а
w (х) w (т) ’ w (т) b
мы в пределе находим
l—F,(/ + 0)<9,(0 <1—^(0,
откуда Ft (0 = 1 — Фо (0 80 всех точках непрерывности закона распределения Ft(i).
4. Теперь мы с помощью индукции убедимся, что Fr+t (i) = = 1—ф0 (0 Для всех гЗ* 0.
В силу стационарности данного потока закон распределения расстояния между двумя первыми вызовами, следующими за каким-либо моментом а^>0, совпадает с законом распределения Ft (0 расстояния г% между первыми двумя вызовами, следующими за моментом 0. Но если в промежутке (0, а) имеется г вызовов, то расстояние между первыми двумя вы.
зовами, следующими за моментом а, есть zr+i, и закон распределения его, равный Fr+i(t), не зависит от предшествующего течения потока. Таким образом,
Ft(t) = S®r(e)^-+»(0- О3-1)
Пусть теперь уже установлено, что
Ft (О= Ft (О= ' * • = Fr+г V) = 1 — Ф. (*)•
Тогда (13.1) дает
1 —Фо (<) = П —Ф«(0] 2 Мл) + Мл)^+*(*) +
Й=0
+ 2 М«)^+,(*).
k>r
откуда в силу г», (a) = ip, (a) —1|>,+1 (а)
[1 — Ф. (*)] Ь («) — Fr+t (О Ь (л) =
= -¦,+, («) Fr+г <«> Fk+i {t).
Так как последняя сумма правой части не иревосходит то мы получаем
г (о) 11 - <р. м - г,„ м | < ¦,,, («к
Это неравенство имеет место при любых /)>0 и а^>0; но при а—>О правая часть по доказанной лемме стремится к нулю; а так как левая часть от а не зависит, то при любом /^>0
П+1(0=1-Ф,(/), что и требовалось доказать.
Глет 5 ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
§ 14. Постановка задачи. Теорема Пальма
Как мы уже говорили в главе 1, значительное большинство исследований прикладного характера основывается на предположении, что первичный поток поступающих на данную установку вызовов является простейшим потоком. Однако давно уже известен целый ряд принципиальных соображений, заставляющих сомневаться в том, что предпосылки, которые представляют собой определение простейшего по-тока, с достаточной степенью точности выполняются в большинстве практически встречающихся случаев (в особенности это относится к требованию отсутствия последействия). Если поэтому наблюдения и опыт констатируют некоторое небольшое отклонение реально встречающихся потоков от простейших, то этому не следует удивляться; более того, удивление может вызвать тот факт, что отклонения такого рода в большинстве случаев бывают менее значительными, чем этого можно было бы ожидать из теоретических соображений. Таким образом, если обычно при сопоставлении выводов теории с опытными данными перед исследователем встает за* дача — объяснить причины отклонения реально протекающих явлений от теоретически предсказанного их течения, то в данном случае дело обстоит как раз наоборот: опытные данные согласуются с выводами построенной теории, как правило, лучше, чем этого можно было бы ожидать по принципиальным соображениям, и именно это «слишком хорошее» согласие требует объяснения.
Пальмом [8] сделана заслуживающая внимания попытка объяснения фактов этого рода, исходя из предположения, что данный поток представляет собой простую сумму (суперпозицию) большого числа взаимно независимых потоков малой интенсивности, причем каждый из слагаемых потоков является стационарным и ординарным, в отношении же последействия эти потоки могут вести себя произвольным образом. При этом оказывается, что в весьма широких предположениях суммарный поток по своему характеру должен быть близок к простейшему. Такая постановка задачи, по-видимому, во многих случаях близка к реальной ситуации. Так, есл
